Условный экстремум

Если аргументы функции f (x₁, x₂,…, x_n) связаны дополнительными условиями в виде m уравнений (m < n):

где функции j_i имеют непрерывные частные производные, то эти уравнения называются уравнениями связи.

Экстремум функции f (x₁, x₂,…, x_n) при выполнении уравнений связи называется условным экстремумом.

Замечание. Можно предложить следующее геометрическое истолкование условного экстремума функции двух переменных: пусть аргументы функции f(x,y) связаны уравнением j(х,у) = 0, задающим некоторую кривую в плоскости О ху. Восставив из каждой точки этой кривой перпендикуляры к плоскости О ху до пересечения с поверхностью z = f (x,y), получим пространственную кривую, лежащую на поверхности над кривой j(х,у) = 0. Задача состоит в поиске точек экстремума полученной кривой, которые, разумеется, в общем случае не совпадают с точками безусловного экстремума функции f(x,y).

Рис. 1

Определим необходимые условия условного экстремума для функции двух переменных, введя предварительно следующее определение:

Функция

где l_i – некоторые постоянные, называется функцией Лагранжа, а числа l_i – неопределенными множителями Лагранжа.

Теорема 3 (необходимые условия условного экстремума). Условный экстремум функции z = f (x, y) при наличии уравнения связи j (х, у) = 0 может достигаться только в стационарных точках функции Лагранжа

Доказательство.

Уравнение связи задает неявную зависимость у от х, поэтому будем считать, что у есть функция от х: у = у(х). Тогда z есть сложная функция от х, и ее критические точки определяются условием:

Из уравнения связи следует, что

Умножим последнее равенство на некоторое число λ и сложим с предыдущим равенством. Получим:

Последнее равенство должно выполняться в стационарных точках, откуда следует:

Получена система трех уравнений относительно трех неизвестных: х, у и l, причем первые два уравнения являются условиями стационарной точки функции Лагранжа. Исключая из системы (5.6) вспомогательное неизвестное l, находим координаты точек, в которых исходная функция может иметь условный экстремум.

Замечание 1. Проверку наличия условного экстремума в найденной точке можно провести с помощью исследования частных производных второго порядка функции Лагранжа по аналогии с теоремой 2.

Замечание 2. Точки, в которых может достигаться условный экстремум функции f (x₁, x₂,…, x_n) при выполнении уравнений связи, можно определить как решения системы

Пример. Найдем условный экстремум функции z = xy при условии х + у = 1. Составим функцию Лагранжа L(x, y) = xy + l(x + y – 1). Система для определения стационарных точек при этом выглядит так: