Производные высших порядков

Если функция имеет конечную производную на некотором числовом промежутке, так что эта производная представляет новую функцию от x, то может оказаться что эта функция в свою очередь имеет производную. Её называют производной второго порядка или второй производной функции и обозначают одним из символов:

В п. 2 мы говорили, что скорость движения точки v равна производной от пройденного пути по времени t, а ускорение есть производная от скорости по времени. Значит, ускорение является второй производной от пути по времени t.

Подобным образом от второй производной можно перейти к третьей, четвертой производной.

О п р е д е л е н и е. Производной n-го порядка или n-ой производной от функции называется производная (первого порядка) от производной (n-1)-го порядка и обозначается в виде:

Порядок производной берётся в скобки для того, чтобы его нельзя было принять за показатель степени. Производные четвертого, пятого и высших порядков обозначаются так же с помощью римских цифр без скобок.

П р и м е р 8. Найти производную шестого порядка от функции

Решение.

Если то

П р и м е р 9. Найти производную второго порядка от функции

Решение.

П р и м е р 10. Найти третью производную функции

Решение.

Производная второго порядка от функции, заданной в параметрическом виде находится по формуле:

(11)

П р и м е р 11. Найти вторую производную от функции , заданной параметрическими уравнениями

Решение.

Сначала найдем первую производную по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически (формула 10) Затем по формуле (11), имеем: