Скрут кривої, заданої в натуральній параметризації

Кривина кривої є кількісною мірою відхилення кривої від прямої, а саме: від дотичної прямої.

Скрут – це кількісна міра відхилення кривої від площини, а саме: від стичної площини. Таким чином, скрут вказує наскільки крива відрізняється від форми плоскої кривої.

Положення стичної площини визначається нормальним вектором бінормалі . Швидкість зміни положення характеризує скрут кривої аналогічно до того, як швидкість зміни вектора дотичної характеризує кривину.

Нехай P – довільна точка кривої , Q – точка , близька до P. Очевидно, що величина двогранного кута між стичними площинами в точках P і Q дорівнює величині кута між бінормалями в цих точках.

Позначимо:

кут між бінормалями в точках P і Q;

s – довжина дуги PQ кривої .

Абсолютним скрутом в точці P називається границя відношення кута повороту бінормалі на дузі, що стягується до даної точки, до довжини цієї дуги, тобто .

Теорема 9. Регулярна крива класу (тричі неперервно диференційовна) в кожній точці з відмінною від нуля кривиною має єдиний абсолютний скрут. Якщо – натуральна параметризація кривої, то абсолютний скрут дорівнює модулю похідної від одиничного вектора бінормалі по s: , (18) де – кривина кривої.

□ Розглянемо властивості вектора :

1) (бо – одиничний вектор, отже , );

2) (оскільки , з першої формули Френе (13): і

); (19)

3) отже , тому . Візьмемо в цій рівності знак мінус: .

(третя формула Френе). (20)

Таким чином .

Знайдемо тепер . , або .

Враховуючи (19), (13) і розглядаючи кривину k як функцію s, маємо:

.

Отже, .■

4.6. Скрут кривої в довільній параметризації

Нехай . Будемо вважати, що і . Як і в знаходженні кривини, похідні вектор-функції по натуральному параметру s будемо позначати з крапкою (, і т.д.), а похідні по довільному параметру t зі штрихом (, і т.д.).

Для натуральної параметризації маємо: .

Виразимо похідні , , по s через похідні , , по параметру t.

Раніше було показано, що ; .

Для знаходження використаємо отриману вище в пункті 4.3 формулу: . Тоді , звідки .

Нагадаємо, що для довільної параметризації , , , тому .

Таким чином, – абсолютний скрут в довільній параметризації.

Скрутом кривої називається величина , яка обчислюється за формулою: . (21)

В скалярній формі: (21')

Зауваження. Плоскі криві – це криві нульового скруту.

Задача. Знайти скрут гвинтової лінії

Розв’язання.

.

.

Мішаний добуток обчислимо як скалярний добуток і :

.

Тоді .

Таким чином, скрут гвинтової лінії є сталою величиною. Якщо – «правогвинтова нарізка»; якщо – «лівогвинтова».

Відповідь: .