Пожалуйста, возьмите в руки обычную линейку и совместите её ребро с прямой .
Да-да – приложите прямо к экрану монитора, не комплексуйте =) Вместо линейки можно использовать тетрадку, лист бумаги или даже руку.
Теперь, согласно определению производной , медленно двигаем линейку влево к точке , уменьшая тем самым приращение . При этом приращение функции тоже уменьшается: точка будет бесконечно близко приближаться к точке по горизонтали (красному отрезку), и точка – бесконечно близко приближаться к той же точке , но уже по графику функции (синей линии).
В результате секущая стремится занять положение касательной к графику функции в точке . Искомая касательная изображена зелёным цветом.
Таким образом, мы получили строгое определение касательной к графику функции:
Касательная к графику функции в точке – это предельное положение секущей в данной точке.
Вот что матан животворящий делает =)
Развиваем мысль дальше. Вспомним полученную ранее формулу тангенса угла наклона секущей и осуществим в обеих её частях так называемый предельный переход.
|
|
В свете рассматриваемых событий (бесконечного уменьшения и нахождения предела ) угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной (последний дважды отмечен зелёными дугами). Аналогичное утверждение справедливо и для тангенсов данных углов: . В итоге:
Вывод: производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке: .
А тангенс угла наклона касательной – это в точности её угловой коэффициент:
В курсе аналитической геометрии выведена формула, по которой можно составить уравнение прямой с угловым коэффициентом:
Учитывая полученное равенство , перепишем уравнение в виде .
Данной формулой мы уже активно пользовались, когда находили уравнение касательной, и сейчас стало ясно, откуда она взялась.