Правило множителей Лагранжа
Задача условной оптимизации формулируется следующим образом:
f (x) = f (x 1, x 2,..., x n) Þextr,
(1.9)
j i (x) = j i(x 1, x 2,..., x n) = 0, , m < n.
(1.10)
Необходимые условия локальной оптимальности для этой задачи известны как правило множителей Лагранжа и формулируются по отношению к функции Лагранжа
(1.11)
(где y j – множители Лагранжа), а именно: если x* – локальное решение задачи (1.9), (1.10), то существует вектор такой, что
,
(1.12)
где – вектор производных от функции Лагранжа по компонентам вектора х.
Любая точка x*, удовлетворяющая при некотором y* условиям (1.12), а также условиям допустимости (1.10), называется стационарной точкой задачи (1.9), (1.10). Как и в случае безусловной задачи оптимизации, стационарные точки не обязаны быть решениями задачи (1.9), (1.10). Здесь также существуют достаточные условия оптимальности с привлечением вторых производных.