Вариационные задачи на условный экстремум

Вариационными задачами на условный экстремум называют задачи, в которых требуется найти экстремум функционала I, причем на функции, от которых зависит этот функционал, наложены некоторые связи. Например, требуется исследовать на экстремум функционал

При наличии условий . Такая задача решается методом неопределенных множителей Лагранжа.

Условным экстремумом называется экстремум не на всей области определения функции (функционала), а на определённом её подмножестве, выделяемом специально наложенным условием (или условиями). Ограничения могут быть типа равенств или типа неравенств.

Рассматриваем функционал, заданный в интегральной форме.

За пределами ограничений куски траектории в задаче с подвижными концами являются экстремалями. Существует условие трансверсальности – условие вхождения экстремали в границу. Эти условия являются дополнительными уравнениями, которые позволяют определить неизвестные константы интегрирования.

В простых задачах – экстремаль должна касаться границы.