Найпростіші квадратурні правила

Прагнення підвищити точність наближеного обчислення інтеграла шляхом підвищення ступеня інтерполяційного багаточлена неминуче приводить до зростання технічних складностей при обчисленні квадратурних коефіцієнтів. Тому на практиці намагаються обійтися багаточленами невисокого ступеня, розбиваючи вихідний відрізок інтегрування на менші частини. У результаті цього одержують сімейства квадратурних правил, що залежать від ступеня використаних інтерполяційних багаточленів. Розглянемо найпростіші з них.

Правило прямокутників. Вихідний відрізок [ a,b ] розбивається на n рівних частин величиною , на кожному з них вибирають по одній точці . Далі, застосовуючи до кожної з них формулу (4) одержуємо правило

, (8)

називане правилом прямокутників.

Якщо f(x) 0, то площа криволінійної трапеції що виражається , згідно (8), обчислюється як площа фігури, що складає із прямокутників з висотою h і висотами . Залежно від вибору точок xi розрізняють формули лівих і правих прямокутників (Малюнок 1).

а)

б)

Малюнок 1. Правило прямокутників: а)- лівих; б)- правих

Правило трапецій. Розділимо відрізок [ a, b ] на n рівних частин і позначимо точки ділення через =a+ih, , . Застосовуючи, далі, до кожного з відрізків формулу (5), одержимо квадратурне правило

, (9)

називане формулою трапецій. Її геометричний зміст складається в заміні кривій y=f(x) ламаною й заміни криволінійної трапеції, що відповідає промiжку , звичайної, – прямолінійної

Малюнок 2. Правило трапецій

Правило парабол. Розділимо відрізок [ a, b ] на n =2m частин, позначимо точки ділення через і розглянемо здвоєні відрізки. До кожного з них застосуємо формулу (6), у результаті чого одержимо правило

, (10)

де , що називається формулою парабол або Симпсона. Назва також почасти пояснюється геометричними особливостями, що складаються в тім, що на кожному здвоєному відрізку крива y=f(x) заміняється дільницями параболи.

Правило трьох восьмих. Розділимо вихідний відрізок на 3m частин, утворимо строєні відрізки й до кожного з них застосуємо формулу (7). У результаті цього одержимо правило