Линейные операторы

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y. Говорят, что оператор действует из X в Y.

Действие оператора обозначают y = A (x), y — образ x, x — прообраз y.

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X, y = A (x), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X, X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A (u + v) = A (u) + A (v), A (α· u) = α· A (u).

ПРИМЕРЫ

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор Θ, действующий из X в Y, который каждому элементу u из X ставит в соответствие нулевой элемент из Y, называется нулевым оператором:

Θ (u) = 0, u ∈ X, 0 ∈ Y.

Нулевой оператор линеен: Θ (u + v) = 0, Θ (u) + Θ (v) = 0 + 0 = 0 и Θ (α· u) = 0, α· Θ (u) =α· 0 = 0.

Оператор I, который каждому элементу u из линейного пространства X ставит в соответствие тот же элемент u, называется тождественным оператором:

I (u) = u, u ∈ X.

Тождественный оператор действует из X в X.

Тождественный оператор линеен: I (u + v) = u + v, I (u) + I (v) = u + v и I (α· u) =α· u, α· I (u) =α· u.

M _n линейное пространств многочленов степени не выше n: M _n = { P_n (t)| P_n (t)= a₀+a₁ t +...+a _ntⁿ }.

Оператор D, который каждому многочлену P_n (t) = a₀ + a₁ t + a₂ t ² +... + a _ntⁿ из M _n ставит в соответствиее многочлен Q_{n- 1}(t) = a₁+ 2a₂ t +... + n a _nt^{n- 1} из M _{n - 1}, называется оператором дифференцирования многочленов.

Оператор дифференцирования многочленов —линейный оператор.