2015-08-13
288
Ланцюговий розпад
Тепер розглянемо випадок з двох розпадів у ланцюзі: один нуклід A розпадається в інший B, тоді B розпадається ще в наступний C, тобто A → B → C. Попереднє рівняння не можна застосувати до ланцюгу розпадів, але його можна узагальнити. Оскільки A розпадається в B, тоді B розпадається в C, активність речовини A додає нукліди B, до того як ці нукліди речовини B розпадуться. Інакше кажучи, кількість ядер речовини другого покоління B збільшується у висліді розпаду речовини A і зменшується внаслідок власного розпаду в речовину третього покоління C. Сума цих двох доданків і дає закон для ланцюгу розпаду для двох нуклідів:
Швидкість зміни NB, яка є d NB /d t, стосується змін кількості A і B, NB може зростати оскільки B утворюється з A і убувати оскільки B утворює C.
Переформулювання із використанням попередніх результатів:
|
Нижні індекси просто вказують на відповідні нукліди, тобто NA це кількість нуклідів типу A, NA 0 це початкова кількість нуклідів типу A, λA це стала розпаду для A — і схоже для нукліду B. Розв'язання рівняння для NB дає:
|
|
|
Природно, це рівняння зводиться до попереднього у випадку якщо B є стабільним нуклідом (λB = 0):
як показано вище для одиночного розпаду. Розв'язок можна знайти через використання інтегрувального множника, де інтегрувальний множник є eλBt і потім взяти визначений інтеграл від 0 до t.
Ланцюг з килькох розпадів
Для загального випадку будь-якої кількості послідовних розпадів у ланцюзі розпадів, тобто A1 → A2 ··· → A i ··· → A D, де D це кількість розпадів і i це індекс (i = 1, 2, 3,... D ), кожну сукупність нуклідів можна знайти у виразах попередніх сукупностей. У випадку N 2 = 0, N 3 = 0,…, ND = 0. Використовуючи попередній результат в рекурсивній формі:
Загальний розв'язок для рекурсивної задачі можна отримати через рівняння Бейтмана:[4]
Рівняння Бейтмана
|
