Симетрiя. Виродження. Усунення виродження

Якщо у будь-якої системи реалiзувати декiлька рiзних станiв, у яких вона має однакову енергiю, то про такi стани кажуть, що вони виродженнi. Число станiв, якi вiдповiдають даному значенню енергiї, називається кратнiстю виродження.

Ілюструємо цi поняття на прикладах, якi розглянутi вище. При русi електрону у одновимiрнiй потенцiйнiй ямi станам, що вiдрiзняються лише знаком хвильового вектора , вiдповiдає однакова енергiя (71). Тому такi стани будуть двократно виродженi.

Для електрону, що рухається у троьхвимiрному потенцiйному ящику, кратнiсть виродження станiв дорiвнює восьми у спiввiдношеннi з 8 рiзними комбiнацiями квантових чисел , якi визначають стан електрону. Усiм цим станам вiдповiдає однакова енергiя (75).

Стан електрону у водневоподiбному атомi описується чотирьма квантовими числами: головним n, азiмутальним , магнiтним та спiновим . Енергiя ж електрона залежить лише вiд головного числа . Тому має мiсце виродження по , , . Кратнiсть цього виродження можна визначити таким чином. Кожному вiдповiдає станiв з рiзними , а кожному вiдповiдає у свою чергу значень . Загальне число станiв, що вiдповiдають даному значенню , одержимо, якщо пiдсумуємо по всiляким значенням , тобто у межах вiд до :

.

З урахуванням спiна цей вираз необхiдно подвоїти. Таким чином, кратнiсть виродження станiв у водневоподiбному атомi дорiвнює:

. (87)

У багатоелектронних атомах енергiя залежить вже не тiльки вiд , але й вiд . Тому кратнiсть виродження зберiгається лише по і та дорiвнює:

. (88)

Виродження завжди зв’язане з наявнiстю тiєї чи iншої симетрiї системи. Так, у першому прикладi руху електрону у одновимiрнiй потенцiйнiй ямi, система симетрична, тобто фiзично еквiвалентна по вiдношенню до прямого та зворотнього напрямку. У прикладi з трьохвимiрним потенцiйним ящиком система симетрична по вiдношенню до прямого та зворотнього напрямку уздовж трьох осей. Нарештi, у прикладi з водневоподiбним атомом система симетрична по вiдношенню до усiх напрямкiв. Така симетрiя зветься сферичною. Система може бути симетрична також по вiдношенню до перестановки мiсцями її частин. Така симетрiя зветься перестановочною.

Усiляке порушення симетрiї системи викликає повне або часткове усунення виродження. Виродженi енергетичнi рiвнi розщеплюються у серiю невиродженних (або виродженних частково) пiдрiвнiв. Таке порушення симетрiї та усунення виродження вiдбувається, як правило, пiд впливом будь-якої зовнiшньої дії. У цьому випадку говорять, що у систему зовнi занесено збурення.

Розглянемо наступний приклад. Уявимо, що електрон рухається уздовж напрямку , володiючи енергiєю . Якщо зовнiшнє поле вiдсутнє, то напрямки уздовж осi уперед та назад є фiзично еквiвалентними. Включимо тепер поле уздовж позитивного напрямку осi . Тодi енергiя електрону, який рухається протилежно осi х, буде дорiвнювати , а вздовж неї , де - вiдстань, яку пройшов електрон у полi. Як бачимо, зовнiшнє збурення знищує симетрiю системи та призводить до усунення виродження.

Енергiя електрону у iзольованому атомi визначається головним та орбiтальним квантовими числами. Стани виродженнi по та s з кратнiстю . Усунути це виродження можна дiєю зовнiшнього поля. Таке поле чинить на енергетичнi рiвнi подвiйний вплив: розщеплює рiвнi на пiдрiвнi; викликає змiщення пiдрiвнiв.

Розщеплення енергетичних рiвнiв атомiв, викликане дiєю електричного поля, зветься ефектом Штарка. Розщеплення рiвнiв пiд дiєю магнiтного поля - ефект Зеємана. Необхiдно зазначити, що електричне поле не усуває виродження по спiну, у той час як магнiтне поле усуває i це виродження.