Електропровiднiсть напівпровідників

Провiднiсть та рухомiсть носiїв заряду

При вiдсутностi зовнiшнього поля електронний газ у провiднику знаходиться у рiвноважному станi та описується рiвноважними функцiями розподiлу Максвела-Больцмана, якщо газ невироджений, i Фермi-Дiрака, якщо газ вироджений. Як видно iз формул (114) та (127), цi функцiї залежать вiд квадрату швидкостi руху електронiв (енергiя електронiв ) i тому є симетричними вiдносно змiни знаку швидкостi.

Встановлення рiвноваги у електронному газi вiдбувається в результатi взаємодiї електронiв з дефектами гратки. Основними з них є тепловi коливання та домiшки. Електронна хвиля, що розповсюджується у кристалi, взаємодiє з коливаннями гратки i розсiюється. На корпускулярнiй мовi цю взаємодiю можна трактувати як зiткнення електронiв з фононами. В результатi таких зiткнень i вiдбувається розсiювання електронiв, що приводить до встановлення рiвноважного їх розподiлу за енергією.

При наявностi у гратцi домiшкових центрiв електрони можуть локалiзуватися на них, а потiм делокалiзуватися, володiючи в загальному випадку вже iншою енергiєю та iмпульсом. На корпускулярнiй мовi це означає зiткнення електронiв з домiшковими центрами та розсiювання, яке у вiдсутностi зовнiшнього поля також буде приводити до встановлення рiвноважного розподiлу.

Якщо до кристалу прикласти зовнiшнє поле , то у ньому виникає електричний струм, щiльнiсть якого , згiдно закону Ома, пропорцiйна:

. (239)

Коефiцiєнт пропорцiйностi зветься питомою електропровiд-нiстю провiдника, а величина , зворотня , зветься питомим опором провiдника:

. (240)

Поява струму у провiднику свiдчить про виникнення у ньому пiд дiєю поля спрямованого руху електронiв, яке зветься дрейфом. Заряд електрону негативний, тому дрейф вiдбувається у напрямку, протилежному . Позначимо його середню швидкiсть через . Збудуємо прямокутний паралелепiпед з основою та боковою стороною, яка дорiвнює (рис. 46). Об’єм цього паралелепiпеда дорiвнює , число електронiв у ньому , де - концентрацiя електронiв у провiднику. Усi цi електрони пройдуть протягом 1с через основу паралелепiпеда i утворять струм щiльностi:

. (241)

Рис. 46. До розрахунку щiльностi струму у провiднику.

Знак мiнус показує на те, що струм спрямований протилежно . Порiвнюючи (239) та (241) знаходимо:

. (242)

Iз (242) видно, що середня швидкiсть дрейфу пропорцiйна напруженостi поля. Коефiцiєнт пропорцiйностi

(243)

зветься рухомiстю носiїв заряду. Для електронiв , для дiрок .

На основi (243) формулу (242) можна переписати так:

. (244)

Iз (243) виходить, що:

. (245)

Таким чином, питання про визначення питомої провiдностi провiдника зводиться до визначення концентрацiї та рухомостi носiїв заряду у ньому.

У випадку напiвпровiдника, який мiстить електрони та дiрки, вираз (245) узагальнюється таким чином:

, (246)

де - концентрацiя електронiв та дiрок, вiдповiдно; - їх рухомiсть.

Рухомiсть носiїв заряду залежить вiд швидкостi їх руху , довжини вільного пробігу та частоти фотонів , що характеризують механiзм розсiювання носiїв на дефектах гратки. Тому встановлення залежності вiд зводиться до визначення залежностi вiд параметрiв та .

Розглянемо цi залежностi у випадках розсiювання носiїв на теплових коливаннях гратки та iонiзованих домiшках, враховуючи той факт, що перший механiзм є визначним у областi високої температури, другий - у областi низької температури.

Розсiювання на теплових коливаннях гратки (на фононах)

Враховуючи , де – концентрація фононів, та ; а також, що та , одержимо:

для невиродженого газу фононів: , (247)

для виродженого газу: . (248)

Таким чином, у областi високої температури, де основним є механiзм розсiювання на теплових коливаннях гратки, рухомiсть носiїв у невироджених напiвпровiдниках обернено пропорцiйна , у вироджених напiвпровiдниках та металах - обернено пропорцiйна .

Розсiювання на iонiзованних домiшках.

Для невиродженого газу: . (249)

Для виродженного газу: . (250)

Таким чином, у областi низької температури, коли основне значення вiдiграє розсiювання на iонiзованих домiшках, рухомiсть носiїв пропорцiйна для невироджених напiвпровiдникiв i не залежить вiд для вироджених напiвпровiдникiв та металiв.

При одночаснiй дiї декiлькох механiзмiв розсiювання - на теплових коливаннях гратки, iонiзованних та нейтральних домiшках, дислокацiях та т.і., визначним буде той, який обумовлює найбiльш низьку рухомiсть носiїв заряду. Так, якщо м²/Вс, м²/Вс то м²/Вс.

Електропровiднiсть чистих металiв

Електропровiднiсть чистих металiв описується спiввiдношенням (245). Концентрацiя електронiв провiдностi у чистих металів не залежить вiд температури, тому залежність визначається виключно змiною рухомостi . Пiдставивши (248) у (245), одержимо для областi високої температури:

(251)

чи

. (252)

Для областi низької температури теорiя приводить до наступної залежностi вiд :

(253)

чи , (254)

де - коефіцієнти пропорційності.

На рисунку 47 показана узагальнено крива залежностi питомого опору чистих металiв вiд температури. В областi високої температури графiком є пряма, в областi низької температури - парабола п’ятого ступеня; поблизу абсолютного нуля, де основне значення набуває розсiювання на домiшках - пряма, що йде паралельно осi температури.

Власна провiднiсть напiвпровiдникiв

Напiвпровiдники високого ступеня очистки в областi не дуже низької температури володiють електричною провiднiстю, що обумовлена наявнiстю у них власних носiїв заряду - електронiв i дiрок. Цю провiднiсть звуть власною.

За рахунок наявності у власному напiвпровiднику двох типiв носiїв заряду питома провiднiсть його описується спiввiдношенням (246): , де - концентрацiя електронiв та дiрок у власному напiвпровiднику; та - їх рухомiсть, відповідно.

Згiдно з (166), (168) і (177) концентрацiя електронiв та дiрок у власному напiвпровiднику дорiвнює:

.

Рис. 47. Залежність питомого опору чистих металів від

температури.

Рухомiсть носiїв в областi власної провiдностi визначається формулою (247). Пiдставивши (177) та (247) у (246), одержимо:

, (255)

де через позначено вираз, який стоїть перед експонентою.

Iз (255) видно, що при , . Якби закономiрнiсть (255) зберiгалася до скiльки завгодно високої температури, то виражало б питому провiднiсть напiвпровiдника при .

Залежнiсть вiд зручно представляти у напiв-логарифмiчних координат. Логарифмуючи (255), одержимо:

. (256)

Якщо по осi абсцис вiдкласти , а по осi ординат то вийде пряма, яка вiдсiкає на осi ординат вiдрiзок, що дрiвнює (рис. 48). Тангенс кута нахилу цiєї прямої до осi абсцис дорiвнює . Будуючи такий графiк, можна визначити постiйну та ширину забороненої зони .

Порiвняння результатiв, одержаних у цьому параграфi, з результатами попереднього параграфу показує, що мiж металами та напiвпровiдниками iснує принципово важлива рiзниця. У той час, як у металах концентрацiя носiїв заряду практично не залежить вiд температури, а температурна залежнiсть їх провiдностi цiлком визначається температурною залежнiстю рухомостi носiїв, у напiвпровiдниках навпаки, концентрацiя носiїв досить рiзко залежить вiд температури (177) i температурна залежнiсть їх провiдностi практично повнiстю визначається температурною залежнiстю концентрацiї носiїв. При данiй температурi концентрацiя носiїв заряду та провiднiсть власних напiвпровiдникiв визначаються шириною їх забороненої зони. Це наглядно видно з даних таблиці 9, у якiй приведена ширина забороненої зони i питомий опiр елементiв IУ групи таблицi Мєнделєєва, якi мають гратку типу алмазу. Із зменшенням ширини забороненої зони з 5,2 (алмаз) до 0,08 еВ (сiре олово) питомий опiр при кiмнатнiй температурi зменшується на 16 порядкiв.

Рис. 48. Залежнiсть власної провiдностi напiвпровiдника вiд

температури.

Таблиця 9

Напiвпровiдники	Алмаз	Кремнiй	Германiй	Олово (сiре)
, еВ	5,2	1,21	0,72	0,08
, Ом.м	1010	3.103	0,47	2.10-6

Домiшкова провiднiсть напiвпровiдникiв

Температурна залежнiсть електропровiдностi невироджених домiшкових напiвпровiдникiв, як i власних, визначається, в основному, температурною залежнiстю концентрацiї носiїв. Тому якiсний характер кривої залежностi повинен бути аналогiчним кривiй залежностi , що показана на рисунку 38.

На рисунку 49 показанi кривi залежностi для домiшкового напiвпровiдника, який мiстить рiзнi кiлькостi домiшки. На цих кривих можна видiлити три характернi областi.

Область вiдповiдає низьким температурам i простягається уверх до температури виснаження домiшки . Концентрацiя носiїв у цiй областi описується формулою (183), а рухомiсть носiїв визначається, в основному, розсiюванням на домiшках i, згiдно (249), пропорцiйна . Пiдставивши (183) та (249) у (245), одержимо:

, (257)

де - коефiцiєнт, який слабко залежить вiд температури.

Логарифмуючи (257), знаходимо:

. (258)

Рис. 49. Залежнiсть провiдностi домiшкових напiвпровiдникiв вiд температури.

Таким чином, область вiдповiдає домiшковiй провiдностi напiвпровiдника, яка виникає внаслiдок iонiзацiї домiшкових атомiв, що приводить до появи “домiшкових” носiїв струму.

Область простягається вiд температури виснаження домiшок до температури переходу до власної провiдностi . У цiй областi усi домiшковi атоми iонiзованi, але ще не вiдбувається помiтного збудження власних носiїв. Внаслiдок цього концентрацiя носiїв зберiгається приблизно постiйною та дорiвнює концентрацiї домiшки: .

Тому температурна залежнiсть провiдностi напiвпровiдника у цiй областi визначається температурною залежнiстю рухомостi носiїв. Якщо основним механiзмом у даній областi є розсiювання на теплових коливаннях гратки, для якого характерне зменшення рухомостi з ростом температури, то провiднiсть на цiй дiлянцi буде падати. Цей приклад показаний на рисунку 49. Якщо ж основним механiзмом виявиться розсiювання на iонiзованих домiшках, то провiднiсть у областi буде збiльшуватися із збільшенням температури.

Область вiдповiдає переходу до власної провiдностi напiвпровiдника. У цiй областi кількість носiїв дорiвнює концентрацiї власних. Тому провiднiсть напiвпровiдника у цiй областi буде:

. (259)

У напiвлогарифмiчних координатах графiком цiєї залежностi є пряма , яка йде до осi абсцис пiд кутом , тангенс якого пропорцiйний ширинi забороненої зони :

. (260)

На рисунку 49 видно, що із збiльшенням концентрацiї домiшки кут нахилу дiлянки домiшкової провiдностi зменшується. У вироджених напiвпровiдникiв, у яких концентрацiя носiїв заряду майже не залежить вiд температури, кут нахилу цiєї дiлянки визначається залежнiстю рухомостi вiд температури.

Термоопори (термiстори). Рiзка залежнiсть опору напiвпровiдникiв вiд температури використовується для створення напiвпровiдникових приладiв - термоопорiв або термiсторiв. Вони являють собою об’ємнi напiвпровiдниковi опори з великим температурним коефiцiєнтом опору та нелiнiйною вольтамперною характеристикою. Виготовляються також термiстори за допомогою спецiальної технологiї iз сумiшi порошків оксидів рiзних металiв, наприклад, діоксиду титану з оксидом магнiю, нiкеля, лiтiю та т.і. Малi габарити, невелика вага, висока механiчна мiцнiсть та надiйнiсть, великий термiн служби та висока чутливiсть, простота експлуатацiї та ряд iнших цiнних якостей термiсторiв визначили широке коло їх практичного застосування.

Термiстори використовуються для вимiрювання температури, вакууму, швидкостi потоку рiдин та газiв, потужностi електромагнiтного випромiнювання, для температурної компенсацiї елементiв електронних ланцюгiв, для обладнання стабiлiзаторiв напруги, рiзних реле часу, обмежувачiв та т.і. Мiкротермiстори, якi володiють невеликими розмiрами та невеликою iнертнiстю, застосовуються для вивчення процесiв теплообмiну у листях рослин, для ранньої дiагностики рiзних захворювань. Застосування у болометрах як робочого елемента тонкої напiвпровiдникової плiвки дозволило збiльшити межу їх чутливiсть до 10^-10 Вт. Такi болометри, будучи улаштованими у фокус параболiчного дзеркала, здiбнi знаходити лiтаки, танки, кораблi та iншi нагрiтi тiла та спорудження на вiдстанi порядку декiлькох кiлометрiв. За допомогою високочутливого напiвпровiдникового болометру вдалося зареєструвати iнфрачервонi променi, вiдбитi вiд поверхнi Мiсяця.