Средняя продолжительность жизни

Немаловажную роль с практической точки зрения играет показатель средней продолжительности жизни.

Рассмотрим совокупность из лиц в возрасте x. Хотя продолжительность жизни после вступления в возраст x для разных лиц из этой совокупности различна, тем не менее, можно говорить о средней величине этой продолжительности. Она определяется характеристиками вероятностей вымирания данной совокупности. С количественной точки зрения этот процесс описывается либо теоретической функцией дожития , либо таблицей смертности, содержащей дискретный ряд значений, соответствующий различным возрастам x. Эти два способа описания процесса вымирания приводят к несколько различающимся оценкам средней продолжительности жизни.

В первом случае продолжительность жизни конкретного лица в возрасте x может принимать любые значения в диапазоне от 0 до ( - предельный возраст). В этом случае средняя продолжительность жизни есть математическоеожидание (ожидаемое значение) случайной величины , представляющей оставшееся время жизни для лица в возрасте x. Эта величина обозначается как

и называется полнойсредней продолжительностью оставшейся жизни в возрасте x.

Можно показать, что

При практических расчетах рассматривают "дискретный аналог" этой величины, связанный с тем, что продолжительность жизни конкретного лица измеряется с точностью до года, то есть округленно. Это особенно удобно при работе с таблицами смертности, в которых показатели относятся к целым значениям возраста x. Соответствующая средняя продолжительность жизни называется округленной продолжительностью жизни в возрасте x и обозначается .

Рассмотрим теперь схему расчета . Пусть - число лиц, доживших до возраста x. Тогда из них не проживет и года, проживут 1 год и умрут, не дожив до x+ 2 лет, проживут 2 годаи умрут, не дожив до x +3 лет, и так далее Полное целое число лет, которое проживут лица из совокупности, будет равно

и, следовательно, среднеечисло лет, которое проживут лица из , есть

или

. (13)

Формулу (13) можно переписать в другом виде. В самом деле, выше было показаны соотношения:

и так далее

Складывая равенства, мы получим

и, следовательно,

или коротко

(14)

Но есть ли связь между двумя показателями средней продолжительности жизни. Без каких-либо представлений о функции выживания мы ничего не можем об этом сказать. Допустим, если считать, что она линейна в промежутке между любыми двумя целыми точками и , то можно предположить:

(15)

В общем случае пользуются этим равенством, но оно является приближенным.

Посмотрим, как работает формула (14). Найдем значение средней продолжительность жизни для 95-летнего мужчины с помощью таблицы смертности (см. приложение А). В этой таблице мы видим:

, , , , , ,

, , , , , , ,

При суммировании получится

следовательно,

Заметим, что в этой же таблице имеется значение полной средней продолжительности жизни 95-летнего возраста:

Разность между полной и округленной средней продолжительностью жизни здесь:

При сравнивании с формулой (15) мы видим, что 0,468 действительно приближенно равно 0,5.

Не самой важной, но довольно интересной характеристикой является медиана времени жизни. Медиана – это такой возраст, вероятность дожить и умереть, не дожив до которого равны между собой. Определяется как корень уравнения .