2015-08-21
678
Определение 9.7. Вектор x евклидова пространства V называется ортогональным подпространству L 
V, если он ортогонален любому вектору из L, т. е.
x 
L 
x y (x, y) = 0, 
y 
L.
Если подпространство L порождено векторами y 1, y 2,…, y k, т. е. является линейной оболочкой этих векторов: L = L (y 1, y 2,…, y k), то
x L (y 1, y 2,…, y k) x y i, i = 1, 2,..., k.
Последнее соотношение в R 3 выражает тот известный из элементарной геометрии факт, что вектор перпендикулярен плоскости тогда и только тогда, когда он перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам этой плоскости.
Определение 9.8. Два подпространства L и М пространства V называются ортогональными, если любой вектор подпространства L ортогонален любому вектору подпространства М, т. е.
L М x y (x, y) = 0, x L, y М.
Если при этом пространства L и М дополнительны друг к другу в V (т. е. V = L + М, L 
М = 0), то М называется ортогональным дополнением к L и обозначается М = 
.
Из теоремы 8.5 вытекает следующая теорема.
Теоремa 9.3. Евклидово пространство V является прямой суммой подпро-странства L и его ортогонального дополнения, т. е.
|
|
|
V = L + V = { x = y + z | y L, z },
причем
dim V = dim L + dim .
