Решение задачи симплекс методом

Условие задачи

Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b₁ = 240, b₂ = 200, b₃ = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a₁₁ = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a₂₁ = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a₃₁ = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a₁₂ = 3, a₁₃ = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a₂₂ = 2, a₂₃ = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a₃₂ = 6, a₃₃ = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c₁ = 4, c₂ = 5, c₃ = 4 (тыс. руб.). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.

Решение задачи симплекс методом

Пусть x₁, x₂, x₃ - количество реализованных товаров, в тыс. руб., 1, 2, 3 - ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид:

F = 4·x₁ + 5·x₂ + 4·x₃ –>max

Решаем симплекс методом.

Вводим дополнительные переменные x₄ ≥ 0, x₅ ≥ 0, x₆ ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.

В качестве базиса возьмем x₄ = 240; x₅ = 200; x₆ = 160.

Данные заносим в симплекс таблицу

Симплекс таблица № 1

Целевая функция:

0 · 240 + 0 · 200 + 0 · 160 = 0

Вычисляем оценки по формуле:

Δ₁ = 0 · 2 + 0 · 4 + 0 · 4 – 4 = – 4

Δ₂ = 0 · 3 + 0 · 2 + 0 · 6 – 5 = – 5

Δ₃ = 0 · 6 + 0 · 4 + 0 · 8 – 4 = – 4

Δ₄ = 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 – 0 = 0

Δ₅ = 0 · 0 + 0 · 1 + 0 · 0 – 0 = 0

Δ₆ = 0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 1 – 0 = 0

Поскольку есть отрицательные оценки, то план не оптимален. Наименьшая оценка:

Δ₂ = – 5

Вводим переменную x₂ в базис.

Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x₂.

≅ 26.67

Наименьшее неотрицательное: Q₃ = 26.67. Выводим переменную x₆ из базиса

3-ю строку делим на 6.
Из 1-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 3
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 2

Вычисляем:

Получаем новую таблицу:

Симплекс таблица № 2

Целевая функция:

0 · 160 + 0 · 440/3 + 5 · 80/3 = 400/3

Вычисляем оценки по формуле:

Δ₁ = 0 · 0 + 0 · 8/3 + 5 · 2/3 – 4 = – 2/3

Δ₂ = 0 · 0 + 0 · 0 + 5 · 1 – 5 = 0

Δ₃ = 0 · 2 + 0 · 4/3 + 5 · 4/3 – 4 = 8/3

Δ₄ = 0 · 1 + 0 · 0 + 5 · 0 – 0 = 0

Δ₅ = 0 · 0 + 0 · 1 + 5 · 0 – 0 = 0

Δ₆ = 0 · (–1)/2 + 0 · (–1)/3 + 5 · 1/6 – 0 = 5/6

Поскольку есть отрицательная оценка Δ₁ = – 2/3, то план не оптимален.

Вводим переменную x₁ в базис.

Определяем переменную, выходящую из базиса. Для этого находим наименьшее неотрицательное отношение для столбца x₁.

Наименьшее неотрицательное: Q₃ = 40. Выводим переменную x₂ из базиса

3-ю строку делим на 2/3.
Из 2-й строки вычитаем 3-ю строку, умноженную на 8/3

Вычисляем:

Получаем новую таблицу:

Симплекс таблица № 3

Целевая функция:

0 · 160 + 0 · 40 + 4 · 40 = 160

Вычисляем оценки по формуле:

Δ₁ = 0 · 0 + 0 · 0 + 4 · 1 – 4 = 0

Δ₂ = 0 · 0 + 0 · (–4) + 4 · 3/2 – 5 = 1

Δ₃ = 0 · 2 + 0 · (–4) + 4 · 2 – 4 = 4

Δ₄ = 0 · 1 + 0 · 0 + 4 · 0 – 0 = 0

Δ₅ = 0 · 0 + 0 · 1 + 4 · 0 – 0 = 0

Δ₆ = 0 · (–1)/2 + 0 · (–1) + 4 · 1/4 – 0 = 1

Поскольку отрицательных оценок нет, то план оптимален.

Решение задачи: x₁ = 40; x₂ = 0; x₃ = 0; x₄ = 160; x₅ = 40; x₆ = 0; F_max = 160

Ответ: x₁ = 40; x₂ = 0; x₃ = 0; x₄ = 160; x₅ = 40; x₆ = 0; F_max = 160

То есть необходимо реализовать товар первого вида в объеме 40 тыс. руб. Товар 2-го и 3-го видов реализовывать не надо. При этом максимальная прибыль составит F_max = 160 тыс. руб.