Свойства корней

Пусть a, b Î R, тогда:

1)

2)

3)

4)

5)

6) где a ³ 0 в случае

7) где в случае

8) где в случае

Пример 1. Вычислить

Решение. 1-й способ. Выделим полные квадраты подкоренных выражений:

Тогда получим

2-й способ. Обозначим вычисляемое выражение через a, т. е.

Заметим, что

Возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Тогда

Поскольку исходное выражение положительно, в ответе получаем a = 4.

Пример 2. Упростить выражение

Решение. 1-й способ. Используем формулы квадрата разности и суммы, а также свойства корней. Получаем:

2-й способ. При упрощении иррациональных выражений часто бывает эффективным метод рационализации, основанный на замене переменных.

Введем такую замену переменных, чтобы корни извлеклись:

Заданное выражение приобретает вид

Упрощаем его, используя формулы сокращенного умножения:

Возвращаясь к старым переменным, приходим к ответу

Пример 3. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

1) 2) 3)

Решение. 1) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения и воспользуемся формулой разности квадратов:

2) Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности и воспользуемся формулой суммы кубов:

3) Умножим числитель и знаменатель дважды на сопряженные выражения: