Решение

Объем равен тройному интегралу от 1 по множеству G = {z ≥ x²+y²; z ≤ 4x+4y+1}. Обозначим за X проекцию множества G на плоскость Oxy. Поскольку множество G снизу ограничено эллиптическим параболоидом z = x2+y2, а сверху плоскостью; z = 4x+4y+1, то:

Для того, чтобы найти множество X, найдем линию пересечения параболоида и плоскости:

Таким образом, линия пересечения параболоида и плоскости может быть получена как результат пересечения цилиндра x²+y² = 2x+2y+7 и параболоида (см. рис. 19). Значит проекция множества G на плоскость есть множество X={ x²+y² ≤ 2x+2y+7}. Уравнение x²+y² = 2x+2y+7 легко приводится к виду (x–1)2 + (y –1)2 = 9, это окружность с центром в точке (1,1) радиуса 3. Поэтому множество X есть часть плоскости, ограниченная

окружностью (x–1)2 + (y –1)² = 9. Заменим координаты (x,y) на полярные:

Множество X преобразуется в множество X’ = {0 ≤ r ≤ 3; 0 ≤ u < 2π}.