Однорідні диференціальні рівняння та рівняння, що зводяться до них

Функцію f(x, y) називають однорідною функцією виміру m, якщо для будь-яких x, y, t справджується тотожність

f(tx, ty) = t^mf(x, y).

Диференціальне рівняння y^l= f(x, y) (1)

називають однорідним, якщо f(x, y) є однорідною функцією виміру 0.

Розглянемо диференціальне рівняння вигляду y^l= (2)

де a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ – деякі сталі. Якщо c₁і c₂ одночасно не дорівнюють нулю, то права частина рівняння (2) не є однорідною функцією виміру 0, а тому це рівняння не є однорідним.

Однак, якщо

Δ ≡ ⇒ a1b2≠ a2b2, (3)

то рівняння (3.12) можна звести до однорідного за допомогою замін

x = m + α, y = n + β, (4)

де сталі α і β потрібно вибрати так, щоб

(5)

Згідно з (3) Δ ≠ 0, а тому лінійна неоднорідна система (5) має єдиний розв’язок, який можна знайти, наприклад, за формулами Крамера. Підставляючи у (2) замість x і y відповідні вирази з (4), одержуємо рівняння

або, враховуючи (5),

Диференціальне рівняння (6) є, очевидно, однорідним.