Коэффициент Пуассона g – это параметр адиабатного процесса. Он входит в известное уравнение Пуассона, описывающее адиабатный процесс в идеальном газе. Рассмотрим, что это за уравнение и как оно выводится.
Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой, =0.
На практике он может быть осуществлен в системе, окруженной теплоизоляционной оболочкой, но поскольку для теплообмена необходимо некоторое время, то адиабатным можно считать также процесс, который протекает так быстро, что система не успевает вступить в теплообмен с окружающей средой. Для получения уравнения адиабатного процесса удобно начать с первого закона термодинамики.
Согласно первому закону термодинамики количество теплоты , сообщённое системе, расходуется на увеличение внутренней энергии dU и на выполнение системой работы :
. (3.1)
Увеличение внутренней энергии идеального газа в случае изменения его температуры на равно:
. (3.2)
Здесь i – число степеней свободы молекулы, под которым подразумевается число независимых координат, определяющих положение молекулы в пространстве: i = 3 для одноатомной молекулы, i = 5 – для двухатомной, i = 6 – для многоатомной, R – универсальная газовая постоянная, .
Работа газа определяется выражением:
. (3.3)
Для адиабатного процесса из формул (3.1) – (3.3) следует:
. (3.4)
Это – дифференциальное уравнение, связывающее два дифференциала dT и dV. Но в нём присутствуют не функции T и V, а функция P. Поэтому надо либо функцию P выразить через T и V, либо один из дифференциалов dT или dV выразить через дифференциал dP. Последнее можно сделать, продифференцировав уравнение Клапейрона – Менделеева.
. (3.5)
Подставив (3.5) в (3.4), получим:
.
Решение этого дифференциального уравнения можно получить методом разделения переменных. Для этого разделим обе части уравнения на PV.
.
Проинтегрировав левую и правую часть получаем:
.
Потенцирование этого уравнения даёт:
.
Последнее уравнение и есть упоминавшееся выше уравнение Пуассона. Для краткости в нём показатель степени обозначают одной буквой g и называют показателем адиабаты или коэффициентом Пуассона. Итак, уравнение Пуассона имеет вид:
. (3.6)
Интересно, что коэффициент Пуассона можно выразить через теплоёмкости газа при постоянном давлении и при постоянном объёме.
Отметим сначала, что физическая величина «теплоёмкость» бывает трёх типов: полная, удельная и молярная. Полная теплоёмкость C есть величина, равная количеству теплоты, которое необходимо сообщить данной системе для увеличения её температуры на один градус. Это значит, что
. (3.7)
Удельной теплоёмкостью вещества называется величина c, равная теплоёмкости единице массы этого вещества.
. (3.8)
Теплоёмкость одного моля вещества называется молярной теплоемкостью:
, (3.9)
где n – количество молей.
Если газ нагревать при постоянном объёме, то и согласно (3.1) всё полученное газом количество теплоты расходуется только на увеличение его внутренней энергии . Тогда из (3.7) и (3.2) следует, что молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме равна:
. (3.10)
Если газ нагревать при постоянном давлении, то полученное газом количество теплоты расходуется на увеличение внутренней энергии dU и выполнение работы .
.
Тогда молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении равна:
. (3.11)
Используя уравнение Клапейрона – Менделеева, можно доказать, что
.
Поэтому из (3.10) и (3.11) следует, во-первых, уравнение Майера
, (3.12)
а во-вторых,
. (3.13)
Поделив (3.13) на (3.10), получим интересный результат:
. (3.14)