Экзаменационные вопросы

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Алгебраические операции над матрицами (умножение на число, сложение, умножение матриц) и их свойства. Транспонирование матрицы. Свойства транспонирования матрицы.

2. Понятие определителя n-ого порядка. Основные свойства определителей.

3. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки и столбца. Теорема о сумме произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки.

4. Обратные матрицы. Свойства обратных матриц. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Формула для нахождения обратной матрицы.

5. Ранг матрицы. Свойства ранга. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

6. Элементарные матрицы. Доказательство основных утверждений. Правило вычисления обратной матрицы при помощи элементарных преобразований.

7. Основные понятия теории систем линейных уравнений (СЛУ). Элементарные преобразования СЛУ. Метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.

8. Исследование СЛУ. Критерий совместности СЛУ (теорема Кронекера-Капелли). Условия определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений.

9. Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы уравнений. Основные утверждения.

10. Правило Крамера решения системы n линейных уравнений с n неизвестными.

11. Понятие и представление комплексных чисел в алгебраической, показательной и тригонометрической формах. Геометрическое изображение комплексных чисел.

12. Действия над комплексными числами в алгебраической, показательной и тригонометрической формах: сложение, вычитание, умножение, деление.

13. Извлечение корней из комплексных чисел в алгебраической, показательной и тригонометрической формах. Корни многочленов.

14. Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число). Свойства операций над векторами.

15. Скалярное произведение векторов. Определение, основные свойства.

16. Уравнение линии на плоскости. Прямая линия на плоскости. Уравнения прямой на плоскости. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Основные задачи на прямую.

17. Кривые второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола). Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.

18. Плоскость в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей.

19. Прямая в пространстве. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых, прямой и плоскости.

20. Угол между прямыми, прямой и плоскостью. Основные задачи на прямую и плоскость.

21. Векторные пространства. Простейшие свойства векторных пространств.

22. Линейная зависимость и независимость системы векторов векторного пространства. Базис и ранг конечной системы векторов.

23. Базис и размерность векторного пространства. Свойства размерности векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств.

24. Подпространства векторного пространства. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.

25. Линейная оболочка системы векторов. Теоремы о базисе и размерности линейной оболочки.

26. Евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств. Простейшие свойства евклидовых пространств.

27. Линейные преобразования (операторы). Основные понятия и свойства.Операции над линейными преобразованиями.

28. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования.

29. Квадратичные формы. Канонический вид.

30. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.