Основные формулы

· Момент M силы F относительно какой-нибудь оси вращения

, (5.1)

где r – расстояние от оси вращения до линии действия силы.

· Момент инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения

, (5.2)

где m – масса материальной точки, r – расстояние точки от оси.

· Момент инерции твёрдого тела относительно его оси вращения

, (5.3)

где r – плотность тела; r = r (x, y, z), dv = dxdydz – элемент объема.

Путем интегрирования можно получить следующие формулы:

– момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) радиуса R массой m относительно его оси:

; (5.4)

– момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом R₁ и внешним R₂ относительно его оси

. (5.5)

Если R₁» R₂, то .

· Момент инерции однородного шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр

. (5.6)

· Момент инерции однородного стержня длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину

;

конец . (5.7)

· Момент инерции тела относительно любой оси, не проходящей через центр тяжести, определяется по формуле Штейнера

, (5.8)

где J₀ – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести; m – масса тела, b – расстояние от центра тяжести тела до оси вращения.

· Закон сохранения момента импульса.

Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему тел относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, то векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени:

. (5.9)

· Основной закон динамики вращательного движения

, (5.10)

где – момент внешних сил, приложенных к телу; – момент импульса тела; – угловая скорость вращения тела.

· Если J =const, то

, (5.11)

где – угловое ускорение, приобретённое телом под действием вращающего момента .