Примеры решения задач

Задача 1. Через блок в виде диска, имеющий массу m = 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m₁= 100 г и m₂= 200 г (рис. 5.1). С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением пренебречь.

Решение. Применим к решению задачи основные законы поступательного и вращательного движения. На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести mg, направленная вниз, и сила Т натяжения нити, направленная вверх. Так как вектор ускорения а груза m₁ направлен вверх, то Т₁> mg. Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное движение и, согласно второму закону Ньютона, равна откуда

, (5.12)

. (5.13)

Вектор ускорения а груза m₂ направлен вниз. Следовательно, . Запишем формулу второго закона Ньютона для этого груза:

. (5.14)

Согласно основному закону динамики вращательного движения вращающий момент М, приложенный к диску, равен произведению момента инерции J диска на его угловое ускорение e [см. формулу (5.11)]:

. (5.15)

Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона, силы, и , приложенные к ободу диска, равны, соответственно, силам Т₁ и Т₂, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке, следовательно, > . Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, т. е. М = ( - ) r. Момент инерции диска J = mr²/2, угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением e = a /r. Подставив в формулу (5.15) выражения M, J и e, получим

, (5.16)

откуда

. (5.17)

Так как = Т₁ и = Т ₂, то можно заменить силы и выражениями по формулам (5.13) и (5.14), тогда

(5.18)

или

; (5.19)

. (5.20)

После подстановки числовых данных получим

м/с².

Ответ: а = 2,88 м/с².

Задача 2. Две гири с различными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого J = 50 кг^.м² и радиусом R = 10 см. Момент сил трения вращающегося блока М_тр = 98,1 Н^.м. Найти разность сил натяжения нити Т₁-Т₂ по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением e = 2,36 рад/с². Блок считать однородным диском (рис. 5.2).