Примеры решения задач

Задача 1. Работая на максимальной мощности, тепловоз ведет поезд массой 2000 т вверх по пути с уклоном a₁ = 0,005, со скоростью u₁ = 60 км/ч. Работая же на 60 %-й максимальной мощности, тепловоз ведет тот же поезд вверх по пути с уклоном a₂ = 0,003 со скоростью u₂ = 50 км/ч. Найти максимальную мощность тепловоза и коэффициент трения f.

Решение. Уклон – отношение высоты подъема к длине пути h/l=sinα, (6.9) где α – угол наклона пути к горизонту. Если sinα <<1, то h/l α. Сила трения Fтр=mgf, (6.10)

так как при малом уклоне сила нормального давления F_н.д mg. В первом случае увеличение потенциальной энергии поезда на некоторой длине пути ΔP_п1 = mgu₁ta_1. Потеря энергии, измеряемая работой силы трения:

W_потерь = A_Тp = F_Тр u₁ t = fmgu₁ t. (6.11)

Следовательно,

N_max = ( P_n1+ W_потерь)/t= mg u _la₁ + mg u₁f = mg u₁(a₁ + f). (6.12)

То же во втором случае:

0,6 N_max = mg u₂(a₂ + f). (6.13)

Из (6.12) и (6.13) находим N_max и f. Далее делим (6.13) на (6.12), получаем:

0,6= u ₂ (a₂ + f)/ u₁ (a₁ + f) или 0,6u₁a₁ -u₂a₂ = u₂f – 0,6u₁ f,

откуда f= (0,6u₁ a₁ - u₂a₂)/(u₂ – 0,6 u₁) 0,002.

Подставляя полученное значение коэффициента трения в уравнение (6.12), получаем N_max = 2,29 МВт.

Задача 2. Граната брошена вверх со скоростью u₀ = 10,0 м/с под углом α = 30° к горизонту. В верхней точке полета граната разорвалась на два осколка одинаковой массы; из них один осколок полетел вертикально вниз с начальной скоростью u₁ = 10 м/с. Найти максимальную высоту полета второго осколка и скорость, с которой он упадет на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь. Какая дополнительная энергия сообщена осколкам гранаты при разрыве, если масса гранаты 1 кг? (рис. 6.1)

Решение. В точке разрыва импульс гранаты направлен горизонтально: p0 = m u0 cosα (рис. 6.1). Время разрыва гранаты очень мало, поэтому можно считать, что при разрыве общий импульс гранаты и ее частей сохраняется. Предполагается, что импульсом внешних сил за время разрыва можно пренебречь. Так как импульс первого осколка направлен вертикально, то горизонтальная составляющая импульса второго осколка должна равняться p0, т.е. , откуда горизонтальная составляющая начальной скорости второго осколка .

Рис. 6.1

Вертикальная составляющая импульса второго осколка равна по модулю импульсу первого осколка и направлена противоположно ему, т.е. вверх: V_2y = V₁ = 10 м/с. Максимальную высоту подъема второго осколка находим как сумму высоты подъема гранаты до точки разрыва и высоты подъема осколка от этой точки. Приравниваем начальную кинетическую энергию гранаты ее полной энергии в момент, предшествующий разрыву:

, откуда h₁ = .

Далее, приравниваем кинетическую энергию второго осколка в точке разрыва его полной механической энергии на максимальной высоте (примем эту точку за уровень нулевой потенциальной энергии):

, т.е. ,

отсюда . Следовательно,

.

Скорость падения на землю второго осколка найдем, приравнивая его полную механическую энергию на максимальной высоте кинетической энергии в точке падения (примем эту точку за уровень нулевой потенциальной энергии):

или .

Дополнительная энергия, полученная осколками гранаты при разрыве, равна разности кинетических энергий осколков гранаты после разрыва и гранаты до разрыва:

.