Второй способ

1. Находит среднее значение времени

2. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение времени

3. Находим среднее значение скорости

4. Находим формулу для дисперсии скорости

Определяем частные производные

Получаем формулу для дисперсии скорости

Полагая, что дистанция измерялась лентой с ценой деления 1см, задаем погрешность измерений расстояния и вычисляем дисперсию и среднеквадратичное отклонение

5. Записываем доверительный интервал

.

Следует обратить внимание на то, что данный доверительный интервал записан без учета параметра Стьюдента, поэтому второй способ обработки результатов косвенных измерений является менее строгим по сравнению с первым. Данный способ обработки результатов косвенных измерений, по сути, является оценочным способом для доверительного интервала.

Совместные измерения. Метод наименьших квадратов. Рассмотрим совместные измерения и порядок их обработки на следующем примере. Допустим, величина и величина связаны линейной зависимостью, т.е.:

(10)

Если величины связанные функционально, измеряются одновременно, то такие измерения называются совместными. Задачей совместных измерений является определение коэффициента .

Для этого проведем измерений величин , последовательно измеряя их в процессе эксперимента, в результате получим пар значений , ,…, . Отметим на плоскости экспериментальные точки, соответствующие полученным данным (рис. 3).

Вследствие случайных погрешностей полученные экспериментально точки не лежат на одной прямой. Но можно сформулировать критерий для выбора углового коэффициента прямой, в соответствии с которым ошибка измерения этого коэффициента будет минимальной. Этот критерий в математической статистике получил название критерия наименьших квадратов.

Пусть для некоторого определенного значения прямая пройдет так, как это показано на рис 3. Для ордината при этом равна , экспериментальное значение для равно , т.е. существует отклонение экспериментального значения от вычисленного значения . Эти отклонения для каждого измеренного значения величины могут отличаться как по величине, так и по знаку

(11)

Согласно критерию наименьших квадратов, угловой коэффициент прямой должен быть таким, чтобы сумма квадратов отклонений ординат прямой при тех же значениях аргумента была минимальной. Это условие метода наименьших квадратов математически записывается так:

(12)

В выражении (12) остаточная сумма квадратов является функцией неизвестного параметра . Минимальное значение этой функции достигается тогда, когда ее производная при некотором значении равна нулю, т.е.:

(13)

Следовательно, взяв от суммы (12) производную по параметру и приравняв ее к нулю, получим уравнение:

(14)

Это уравнение линейное относительно А, и из него легко можно получить формулу для нахождения неизвестного параметра :

(15)

Параметр является случайной величиной. С помощью методов математической статистики можно найти формулу для дисперсии этого параметра

(16)

Таким образом, метод наименьших квадратов позволяет определить по результатам совместных измерений, как величину неизвестного параметра , так и его дисперсию . В ряде случаев функциональная зависимость между величинами и может отличаться от простейшей линейной зависимости (10).

Часто приходится использовать несколько более сложную зависимость, неизвестными уже могут быть не один, а два параметра, которые в результате совместных измерений необходимо определить. Такой зависимостью, например, является линейная функция вида

(17)

Используя метод наименьших квадратов, можно получить расчетные формула для определения параметров и . Эти формулы записываются в виде

, (18)

Величина дисперсии этих параметров находится по формулам

Проверка статистических гипотез. Критерий Фишера. Первый вопрос, который нас интересует после вычисления коэффициента , это проверка соответствия (10) экспериментальным данным .

На рисунках (4 а), (4 б) линией показана зависимость , полученная по методу наименьших квадратов. Точками показаны экспериментальные данные с разбросом, равным . Очевидно, что зависимость соответствует экспериментальным данным только в первом случае.

Однако это качественные соображения, а нам нужна количественная оценка. Для характеристики среднего разброса точек относительно вполне подходит остаточная сумма квадратов. Неудобство состоит в том, что остаточная сумма квадратов зависит от числа коэффициентов в уравнении. Кроме того, если ввести столько коэффициентов, сколько имеется независимых измерений, то мы получим остаточную сумму, равную нулю.

Поэтому предпочитают делить остаточную сумму квадратов на число степеней свободы. Числом степеней свободы в математической статистике называется разность между числом измерений и числом коэффициентов , входящих в уравнение , т.е. .

Остаточная сумма квадратов , деленная на число степеней свободы, называется дисперсией адекватности, т.е. (19)

Для зависимости дисперсия адекватности равна (20)

Для проверки соответствия зависимости экспериментальным данным используют -критерий (критерий Фишера), при этом вычисляют следующее соотношение (21)

где - есть дисперсия воспроизводимости с числом степеней свободы, равным , где число измерений, т.е.

(22)

Из предыдущего равенства видно, что параметр является величиной случайной и для него существует функция распределения, которая впервые была получена Фишером. Из табл. 2 находят, при известном числе степеней свободы дисперсии , и заданной вероятности , значения и

Таблица 2. Значения критерия Фишера при надежности в зависимости от числа степеней свободы сравниваемых величин дисперсий.

d-1	n-m
	19.00	19.16	19.25
	9.55	9.28	9.12
	6.94	6.59	6.39
	5.79	5.41	5.19

Далее проверяют двухстороннее неравенство

(23)

В том случае, когда , достаточно производить одностороннюю оценку, т. е. (24)

Если данные условия выполняются, то с вероятностью, равной ,можно утверждать, что зависимость соответствует полученным экспериментальным данным.