Шкалы количественных признаков — это шкалы интервалов, отношений, разностей, абсолютная

В шкале наименований (другое название этой шкалы — номинальная — переписанное русскими буквами английское название шкалы) допустимыми яв-ляются все взаимно-однозначные преобразования. В этой шкале числа исполь-зуются лишь как метки. Примерно так же, как при сдаче белья в прачечную, т.е. лишь для различения объектов. В шкале наименований измерены, например, номера телефонов, автомашин, паспортов, студенческих билетов, страховых свидетельств государственного пенсионного страхования, медицинского страхования, ИНН (индивидуальный номер налогоплательщика). Пол людей также измерен в шкале наименований, результат измерения принимает два значения мужской, женский. Раса, национальность, цвет глаз, волос — номинальные признаки. Номера букв в алфавите — тоже измерения в шкале наименований. Никому не придет в голову складывать или умножать номера телефонов, такие операции не имеют смысла. Сравнивать буквы и говорить, например, что буква П лучше буквы С, также никто не будет. Единственное, для чего годятся измерения в шкале наименований — это различать объекты. Во многих случаях только это от них и требуется. Например, шкафчики в раздевалках для взрослых различают по номерам, т.е. числам, а в детских садах используют рисунки, поскольку дети еще не знают чисел.

Номинальная шкала позволяет разделить совокупность на типы, которые не пересекаются. Между единицами совокупности, принадлежащими одному типу, задается отношение эквивалентности (равенства в смысле признака разбиения); между единицами, принадлежащим разным типам,— отношение неравенства без предпочтений. Иными словами, если две единицы совокупности измерены с помощью номинальной шкалы, то получают один из двух результатов — равенство или неравенство рассматриваемых единиц.

Свойства номинальных шкал формулируются следующим образом: А либо эквивалентно Б, либо не эквивалентно Б (1); если А эквивалентно Б. то Б эквивалентно А (2); если А эквивалентно Б и Б эквивалентно В, то А эквивалентно В (3). Здесь А. Б, В — объекты, измеренные в номинальной шкале.

В порядковой шкале числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между ними. Простейшим примером являются оценки знаний учащихся. Символично, что в средней школе применяются оценки 2, 3, 4, 5, а в высшей школе ровно тот же смысл выражается словесно — неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично. Этим подчеркивается «нечисловой» характер оценок знаний учащихся. В порядковой шкале допустимыми являются все строго возрастающие преобразования. Установление типа шкалы, т.е. задания группы допустимых преобразований шкалы измерения — дело специалистов соответствующей прикладной области. Так, оценки привлекательности профессий считали измеренными в порядковой шкале. Однако отдельные социологи не соглашались с этим, полагая, что выпускники школ пользуются шкалой с более узкой группой допустимых преобразований, например, интервальной шкалой. Очевидно, эта проблема относится не к математике, а к наукам о человеке. Для ее решения должен быть проведен достаточно трудоемкий эксперимент. В настоящее же время целесообразно принимать порядковую шкалу, так как это гарантирует от возможных ошибок.

Оценки экспертов, как уже отмечалось, часто следует считать измеренными в порядковой шкале. Типичным примером являются задачи ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию.

Почему мнения экспертов естественно выражать именно в порядковой шкале? Как показали многочисленные опыты, человек более правильно (и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного, например, сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах.

В различных областях человеческой деятельности применяется много других видов порядковых шкал. Так, например, в минералогии используется шкала Мооса, по которому минералы классифицируются согласно критерию твердости. А именно: тальк имеет балл 1, гипс — 2, кальций — 3, флюорит — 4, апатит — 5, ортоклаз — 6, кварц — 7, топаз — 8, корунд — 9, алмаз — 10. Минерал с большим номером является более твердым, чем минерал с меньшим номером, и при нажатии царапает его.

Порядковыми шкалами в географии являются: бофортова шкала ветров («штиль», «слабый ветер», «умеренный ветер» и т.д.), шкала силы землетрясений. Очевидно, нельзя утверждать, что землетрясение в 2 балла (лампа качнулась под потолком — такое бывает и в Москве) ровно в 5 раз слабее, чем землетрясение в 10 баллов (полное разрушение всего на поверхности земли).

В медицине: шкала стадий гипертонической болезни (по Мясникову), шкала степеней сердечной недостаточности (по Стражеско-Василенко-Лангу), шкала степени выраженности коронарной недостаточности (по Фогельсону) и т.д. Все эти шкалы построены по схеме: заболевание не обнаружено; первая стадия заболевания; вторая стадия; третья стадия... Иногда выделяют стадии 1а, 1б и др. Каждая из них имеет свойственную только ей медицинскую характеристику. При описании групп инвалидности числа используются в противоположном порядке: самая тяжелая — первая группа инвалидности, затем — вторая, самая легкая — третья.

Номера домов также измерены в порядковой шкале — они показывают, в каком порядке стоят дома вдоль улицы. Номера томов в собрании сочинений писателя или номера дел в архиве предприятия обычно связаны с хронологическим порядком их создания.

При оценке качества продукции и услуг, в так называемой квалиметрии (буквальный перевод: измерение качества) популярны порядковые шкалы. А именно, единица продукции оценивается как годная или не годная. При более тщательном анализе используется шкала с тремя градациями: есть значительные дефекты — присутствуют только незначительные дефекты — нет дефектов. Иногда применяют четыре градации: имеются критические дефекты (делающие невозможным использование) — есть значительные дефекты — присутствуют только незначительные дефекты — нет дефектов. Аналогичный смысл имеет сортность продукции — высший сорт, первый сорт, второй сорт,...

При оценке экологических воздействий первая, наиболее обобщенная оценка — обычно порядковая, например: природная среда стабильна — природная среда угнетена (деградирует). Аналогично в эколого-медицинской шкале: нет выраженного воздействия на здоровье людей — отмечается отрицательное воздействие на здоровье.

Порядковая шкала используется и во многих иных областях. В эконометрике это прежде всего различные методы экспертных оценок.

Помимо разбиения на типы порядковая шкала устанавливает отношение предпочтения между типами, отношение иерархии по величине признака, ставшего основой разбиения, дает возможность ответить на вопрос, больше или меньше другой данная единица совокупности. Для оценки значений признака при этом используются ранги (место в упорядоченном множестве по возрастанию или убыванию) или баллы.

Порядковая шкала помимо отношения эквивалентности задает отношение предпочтения между значениями признака, объектами.

Помимо свойств (1 — 3) номинальной шкалы в порядковой шкале появляются свойства предпочтения. Если А предпочтительней Б, но А и В эквивалентны, то В предпочтительней Б; если А предпочтительней Б, но Б предпочтительней В, то А предпочтительней В; если А эквивалентно Б, Б предпочтительней В, то и А предпочтительней В.

В порядковой шкале числовая форма значений порядковых признаков играет роль идентификаторов. Поэтому последовательность «неуд.», «удов.», «хор.», «отл.» и числа 2, 3, 4, 5 при характеристике оценок, полученных на экзамене, понимается как эквивалентная; расчеты «среднего балла», «среднего ранга» не вызывают возражений. Более того, для порядковых признаков разработаны и применяются специальные адекватные характеpy исходных данных измерители взаимосвязи — коэффициенты корреляции рангов Спирмена, Фехнера, основанные на использовании основных параметров — средней арифметической и дисперсии (для корреляции рангов по Спирмену).

Интервальная шкала в отличие от более слабых шкал — номинальной и порядковой — имеет единицу измерения, поэтому дает возможность проведения упорядоченной классификации единиц совокупности и позволяет оценить величину отклонений одной единицы совокупности от другой. Интервальная шкала предоставляет возможность линейного преобразования оценок значений признака. С помощью интервальной шкалы измеряются такие признаки, как возраст, вес, рост и т.д. Частным случаем интервальной шкалы является шкала отношений, или пропорциональная шкала, — интервальная шкала, в которой есть условный ноль.

Пример признаков в шкале отношений — стаж работы, заработная плата, температура и т.п.

По шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой. В этих случаях на шкале нельзя отметить ни естественное начало отсчета, ни естественную единицу измерения. Исследователь должен сам задать точку отсчета и сам выбрать единицу измерения. Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные возрастающие преобразования, т.е. линейные функции. Температурные шкалы Цельсия и Фаренгейта связаны именно такой анисимостью: °С = 5/9 (°F— 32), где °С— температура (в градусах) по шкале Цельсия, a°F — температура по шкале Фаренгейта.

Из количественных шкал наиболее распространенными в науке и практике являются шкалы отношений. В них есть естественное начало отсчета — ноль, т. е. отсутствие величины, но нет естественной единицы измерения. По шкале отношений измерены большинство физических единиц: масса тела, длина, заряд, а также цены в экономике. Допустимыми преобразованиями в шкале отношений являются подобные (изменяющие только масштаб). Другими словами - линейные возрастающие преобразования без свободного члена. Примером является пересчет цен из одной валюты в другую по фиксированному курсу. Предположим, мы сравниваем экономическую эффективность двух инвестиционных проектов, используя цены в рублях. Пусть первый проект оказался лучше второго. Теперь перейдем на валюту — юани, используя фиксированный курс пересчета. Очевидно (исходя из общих соображений), что первый проект должен опять оказаться более выгодным. Однако, алгоритмы расчета не обеспечивают автоматически выполнения этого очевидного условия. Надо проверять, что оно выполнено.

В шкале разностей есть естественная единица измерения, но нет естественного начала отсчета. Время измеряется по шкале разностей, если год (или сутки — от полудня до полудня) принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. На современном уровне знаний естественное начало отсчета указать нельзя. Дату сотворения мира различные авторы рассчитывают по-разному, равно как и момент рождества Христова. Так, согласно новой статистической хронологии, разработанной группой известного историка акад. РАН А.Т. Фоменко, Господь Иисус Христос родился примерно в 1054 г. по принятому ныне летоисчислению в Стамбуле (он же —- Царьград, Византия, Троя, Иерусалим, Рим).

Только для абсолютной шкалы результаты измерений — числа в обычном смысле слова. Примером является число людей в комнате. Для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.

В процессе развития соответствующей области знания тип шкапы может меняться. Так, сначала температура измерялась по порядковой шкале (холоднее — теплее). Затем — по интервальной (шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра). Наконец, после открытия абсолютного нуля температуру можно считать измеренной по шкале отношении (шкала Кельвина). Надо отметить, что среди специалистов иногда имеются разногласия по поводу того, по каким шкалам следует считать измеренными те или иные реальные величины. Другими словами, процесс измерения включает в себя и определение типа шкалы (вместе с обоснованием выбора).