Задача 2

Доказать следующее утверждение: при наращении по простой учетной ставке величина начисляемых процентов с каждым годом увеличивается, при наращении капитала по простой процентной ставке капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.

Решение

Рассмотрим начисление процентов по учетным ставкам, за-

пишем: F = P /(1 − nd).

Величина начисленных процентов равна: F − P = P /(1− nd)− P = Pnd /(1− nd).

За первый год капитал возрастет на величину Pd /(1 − d) (n = 1). За два года

капитал возрастет на величину 2 Pd /(1−2 d) (n = 2), поэтому приращение капитала за год составит

I 2 = 2 Pd (1 − 2 d) – Pd (1 − d) = Pd (1 − d) ⋅ (1 − 2 d)

За три года капитал возрастет на величину 3 Pd /(1 − 3 d) (n = 3), поэтому

приращение капитала за год составит I 3 = 3 Pd (1 − 3 d)−2 Pd (1 − 2 d)= Pd (1 –

2 d) ⋅ (1 − 3 d) и т. д.

За год с номером k капитал возрастет на величину kPd /(1 − kd) (n = k).

За год с номером k + 1капитал возрастет на величину (k + 1) Pd /[1 − (k + 1) d ]

(n = k + 1), поэтому приращение капитала с года с номером k до года с номером k + 1 составит Ik +1 = Pd [1 − (k + 1)] (1 − kd): Таким образом,

Ik +1 = Ik ⋅ 1 − (k − 1) d [1 − (k + 1) d ] Так как 1 − (k − 1) d [1 − (k + 1) d ]> 0,

поэтому начисленные проценты с каждым годом увеличиваются.

Рассмотрим начисление процентов по процентным ставкам.

По формуле (1.1) запишем: F = P ⋅ (1 + nr).

Величина начисленных процентов равна F − P = P + Pnr − P = Pnr.

Приращение капитала за год с номером k − 1 до года с номером k всегда равно одной и той же величине Pr.

Задача 4

Доказать следующее утверждение: простая учетная ставка обеспечивает

более быстрый рост капитала, чем такая же по величине процентная ставка.

Решение

Имеем:

F ссудная = P ⋅ (1 + nr);

F учетная = P (1 − nd):

Необходимо доказать, что F учетная больше, чем F ссудная при любых r = d.

Найдем разность между F учетная и F ссудная:

F учетная − F ссудная = P

Задача 5

Вы поместили в банк вклад 100 тыс. руб. под простую процентную ставку 6% годовых. Какая сумма будет на счете через 3 года? Какова величина начисленных процентов?

Решение

По формуле (1.1) при P = 100 тыс. руб., n = 3, r = 0; 06 получаем:

F = 100 ⋅ (1 + 3 ⋅ 0; 06) = 118 тыс. руб.

Через три года на счете накопится 118 тыс. рублей.

Величина начисленных за три года процентов составит: 118 − 100 = 18 тыс. руб:

Задача 6

На какой срок необходимо поместить денежную сумму под простую процентную ставку 8% годовых, чтобы она увеличилась в 2 раза?

Решение

Искомый срок определяем из равенства множителя наращения величине 2:

1 + n ⋅ 0, 08 = 2; поэтому n = 1/0, 08 = 12,5 лет. Сумма, размещенная в банке под 8% годовых, в два раза увеличится через 12,5 лет.