Определение. Дисперсией случайной величины x называется число
Заметим, что величину mk = E (x — E x) k, k ³ 2 называют центральным моментом порядка k случайной величины x.
Рассмотрим свойства дисперсии.
1). D x = E x2 - (E x) 2
Действительно, из определения дисперсии получаем
2). D x ³ 0, причем
D x = 0 Û P (x = E x) = 1,
т.е. x — постоянная (здесь Û - знак эквивалентности утверждений).
Так как D x = E (x - E x) 2, то D x > 0. Пусть Р (x = Е x) = 1, тогда E x2 = (E x) 2, и, следовательно, по свойству 1
D x = E x2 - (E x) 2 = 0
Если D x = E (x - E x) 2 = 0, то Р (x - E x = 0) = 1 или Р (x = E x) = 1, поскольку (x - E x) 2 ³ 0.
Следствие. Если С— постоянная, то D C = 0.
Непосредственно из определения дисперсии получаем
3)
D (Cx + b) = С2 × D x, где C u b постоянные. Доказывается следующим образом:
Следствие: D (C x) = С2 × D x, D (x + b) = D x.
4. Если x и h независимые случайные величины, тогда
Это свойство получается из определения дисперсии с учетом независимости случайных величин x и h. На самом деле,
поскольку если случайные величины x и h независимы, то случайные величины x — Е x и h — Е h также независимы (проверьте самостоятельно), поэтому по свойству 5 математического ожидания Е (x — Е x)(h — Е h) = 0.
|
|
Как следствие получаем: Если x 1, x 2, …, xn независимые случайные величины, то