Гомеоморфно

Разница между аналогами и гомологами. Аналоги – крылья бабочки и крылья птицы – выполняют одинаковую функцию, но природа разная cf. крылья птицы, передние плавники рыбы, передние ноги лани – гомологи – ф҃ция разная, а природа одна.

Квадрат и круг ближе друг к другу, чем квадрат и квадрат с квадратной дыркой. Если взять абсолютно растяжимую плёнку – квадрат можно превратить в круг и обратно -> непрерывная обратимая деформация.

[Wikipedia: Топология – картинка: кружка превращается в бублик]

Для преобразования тел мы используем пластилин, который не липнет к рукам и можно растягивать как угодно. Тогда из «блина» с толщиной можно сделать шар. Если одну фигуру можно так трансформировать в другую – они гомеоморфны. E.g. шар и куб.

Буквы: А + Д; Ь + Б; У + Y; K + К; В + 8;

Преобразование – гомеоморфизм; явление – гомеоморфи́я.

Любой гомеоморф круга – «лоскут». Е.г. футбольный мяч – из 32х лоскутов.

Компактное двумерное многообразие без края – то, что можно склеить из конечного числа лоскутов (поверхность). e.g. лоскутное одеяло, футбольный мяч.

Тор – одновременно и трёхмерная «баранка», и её поверхность.

Любой гомеоморф отрезка – обрывок. -> Компактное одномерное однообразие без края – окружность. Больше нет. Двумерные – сфера, поверхность тора, лист Мёбиуса etc.

Гомеоморф шара – комок. Всё, что можно сложить из конечного числа комков – компактное трёхмерное многообразие с краем.

Компактное трёхмерное многообразие без края.

Его нельзя увидеть, но можно понять, что оно возможно.

Трёхмерная сфера?

Односвязный

Односвязная поверхность. Канцелярская резинка, обладающая свойствами:

1. не может соскочить с поверхности

2. стремиться свернуться в точку [но на поверхности баранки – не всегда сможет; если сможет – тело односвязное]

3. готова даже растянуться ради того, чтобы потом стянуться в точку
e.g. Колба от песочных часов (сфера) – у неё есть талия. Помещаем резинку. Для того чтобы сжаться в точку – ей нужно расшириться.

Трёхмерное тело – тоже м.б. односвязным. E.g. Шар. Шар с полостью внутри – односвязен, ибо резинка может её обойти.

Если заменить в ГП слово трёхмерное на двумерное:

«Всякое односвязное двумерное компактное многообразие без края (поверхность шара) гомеоморфно двумерной сфере». – и так ясно.

Значение

Методы, применённые Переляманом – совершенно неожиданные. Методы дифференциальной геометрии.

Космлогическое значение. Интересно, какой тот мир, в котором мы живём.

Если бы люди не понимали, что такое шар – они бы не осознали Землю, как шар.

Г.Ўэллс – человек, который был зеркально перевёрнут. Рассказ.