Введение

Граф - исключительно популярный объект, минимально удаленный как от своего целостного пространственного образа, так и от описания по всем правилам теории множеств. Всякий раз, когда с задачей удается связать граф, обсуждение резко упрощается и большие фрагменты словесного описания заменяются манипуляциями с картинками. (Ю.И.Манин)

Многосвязная структура характеризуется следующими свойствами: (1) каждый элемент структуры содержит произвольное число направленных связей с другими элементами (или ссылок на другие элементы); (2) с каждым элементом может связываться произвольное количество других элементов (каждый элемент может быть объектом ссылки произвольного количества других элементов); (3) каждая связь в структуре имеет не только направление, но и вес. Такую многосвязную структуру называют сетевой структурой или сетью. Заметим, что логически сеть эквивалентна взвешенному ориентированному графу общего вида, и поэтому вместо термина "сеть" часто употребляются термины "графовая структура", или даже просто "граф".

Особое значение сетевые структуры приобрели в системах искусственного интеллекта, в которых они адекватно отражают логику организации данных и сложные отношения, возникающие в таких системах между различными элементами данных. В этих системах сетевые структуры применяются для построения семантических сетей, фреймов и других логических конструкций, необходимых для представления знаний, образования понятий и осуществления логических выводов.

Кратчайшие пути в графе. Алгоритм Форда-Беллмана.

Мы взбираемся на вершину, откуда можем бросить гордый взгляд назад и оценить пройденный путь. (П.Буль)

Существует большое количество практических задач, сводящихся к поиску кратчайших путей в графе. К их числу можно отнести: поиск кратчайшего расстояния между городами; поиск пути передачи информации, обеспечивающего минимальную стоимость или минимальное время передачи, или максимальную надежность при распространении информации в разветвленной сети.

Исходными данными для поиска кратчайшего пути в графе является матрица весов дуг заданного ориентированного графа. Это означает, что каждой дуге (u,v)∊E поставлено в соответствие некоторое вещественное число А(u,v), называемое весом данной дуги. Длину кратчайшего пути d(s,t) между вершинами s и t называют расстоянием от s до t (расстояние, определенное таким образом, может быть и отрицательным). Если не существует ни одного пути из s в t, то полагают d(s,t)=Ґ, где Ґ- некоторый символ.

Большинство алгоритмов поиска расстояний между двумя фиксированными вершинами s и t включают в себя следующие действия: по данной матрице весов дуг A*u,v] (u,v∊V) вычисляют некоторые верхние ограничения D*v+ на расстояние от s до всех вершин v. На каждом шаге, если D*v++A*u,v+<D*v+ оценку D*v+ улучшают: D*v+=D*u++A*u,v+. Процесс прекращается, когда дальнейшее улучшение ни одного из ограничений невозможно.

Алгоритм Форда-Беллмана позволяет найти расстояние от источника до всех вершин D[v]=d(s,v), v∊V ориентированного графа при условии, что граф не содержит контуров отрицательной длины (n - количество вершин в графе). Исходными данными для этого алгоритма являются матрица весов дуг A[u,v].

На рисунке 1 приведен: (а) граф; (б) соответствующая ему матрица весов дуг; (в) результаты работы алгоритма Форда-Беллмана.

а б в

Рис. 1: Пример выполнения алгоритма Форда-Беллмана.

Приведенный алгоритм отыскания кратчайших путей в графах с отрицательными длинами дуг, принадлежащий Форду, Муру и Беллману, может служить одним из возможных способов обнаружения контуров отрицательной длины (или циклов в неориентированном графе).