Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1 — 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами (рис. К3.0 — К3.9). Длины стержней: l₁ = 0,4 м, l₂ = 1,2 м, l₃ = 1,4 м, l₄ = 0,8 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ, которые вместе с другими величинами заданы в табл. К2. Точка D на всех рисунках иточка К на рис. К3.7-К3.9 в середине соответствующего стержня.

Таблица К3
Номер условия	Углы	Дано	Найти
				ω₁	ω₄

						-	-
					-		-
					-	-
						-	-
					-		-
					-	-
						-	-
					-		-
					-	-
						-	-

Определить: величины, указанные в таблице в столбце "Найти". Найти также ускорение a_A точки А стержня l, если стержень 1 имеет в данный момент времени угловое ускорение ε₁= 10 с².

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа должны откладываться соответствующие углы, т.е. по ходу илипротив хода часовой стрелки (например, угол т на рис. 1 следует отложить от стержня DE против хода часовой стрелки, а на рис. 2 — от стержня АЕ по ходу часовой стрелки).

Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом а; ползун В и его направляющие для большей наглядности изобразить, как в примере К3 (см. рис. К3). Заданную угловую скорость считать направленной против хода часовой стрелки, а заданную скорость V_B — от точки В к b.

Указания. Задача К3 — на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.

Пример К3. Механизм (рис. К, а) состоит из стержней 1, 2, 3. 4 и ползуна В, соединенных друг с другом ис неподвижными опорами О, и О, шарнирами.

Д а н о: α = 120⁰, β = 60⁰, γ = 90⁰, φ = 0⁰, θ = 30⁰, AD = DE, 1₁ = 0,6 м, 1₃ = 1,2 м, ω₁ = 5 c^-1, ε₁ = 8 c^-2.

Определить: V_B,V_E, ω₃ и а_A.

Решение. 1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3, б).

2. Определяем V_E. Точка Е принадлежит стержню АЕ. Чтобы найти V_E, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление V_E. По данным задачи можем определить

V_A = ω₁l₁= 5* 0,6 = 3 м/с; (1)

Направление найдем, учтя, что точка Е принадлежит одновременно стержню O₂ Е,вращающемуся вокруг О₂;следовательно, . Теперь, зная и направление воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АЕ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АЕ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

; м/с (2)

3. Определяем . Точка В принадлежит стержню ВD. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АЕ. Для этого, зная и , построим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АЕ; это точка С₂, лежащая на пересечении перпендикуляров к и восставленных из точек А и Е (к и перпендикулярны стержни 1 и 4). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АЕ вокруг МЦС С₂. Вектор будет перпендикулярен отрезку С₂ D, соединяющему точки D и С₂, и направлен в сторону поворота. Величину ) найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С₂ D и С₂ А, заметим, что ∆ А С₂ Е — прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30⁰ и 60⁰, и что С₂ А=

= АЕ * sin 30 = 0,5 AE=АD. Тогда ∆ А С₂ D является равносторонними С₂ А = С₂ D. В результате равенство (3) дает

м/с; (4)

Так как точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно, то направление известно. Toгда, восставляя из точек В и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С₃ стержня BD. По направлению вектора определяем направление поворота стержня BD вокруг центра С₃. Вектор будет направлен в сторону поворота стержня BD. Из рис. К3, б видно, что