Задача С2

ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНЫМ ЗАДАНИЯМ

СТАТИКА

Задача C l

Жесткая рама (рис. Cl.0 — C1.9, табл. Cl) закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню ВВ₁, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами.

На раму действуют пара сил с моментом М = 100 Н·м и две силы, значения которых, направления и точки приложения указаны в таблице (например, в условиях №1 на раму действуют сила F₁ = 10 Н под углом 30⁰горизонтальной оси, приложенная в точке К, и сила F₄ =40 Н под углом 60⁰ к горизонтальной оси, приложенная в точке Н).

Определить реакции связей в точках А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять l = 0,5 м.

Указания. Задача Cl — на равновесие тела под действием плоской системы сил. Составляя уравнения равновесия, учесть, что уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей (в данном случае относительно точки А). При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие F ' и F", для которых плечи легко вычисляются, в частности на составляющие, параллельные координатным осям, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда m_О (F) = m_О(F ') + m_О (F ").

Таблица С1

Сила
F1 = 10 H	F2 = 20 Н	F3 = 30 H	F4 = 40 H
Номер   условия	Точка Прилож.	α1	Точка Прилож.	α2	Точка прилож.	α 3	Точка Прилож.	α 4
	-	-	D		Е		-	-
	К		-	-	-	-	H
2	-	-	H		К		-	-
	D		-	-	-	-	Е
	-	-	К		Е		-	-
5	H		-	-	D		-	-
	-	-	Е		-	-	К
	D		-	-	II		-	-
	-	-	Н		-	-	D
	Е		-	-	-	-	К

Пример Сl. Жесткая пластина ABCD (рис. Cl) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В — подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, α=60⁰, Р = 18 кН, γ = 75⁰, М =50 кН·м, β = 30⁰, l = 0,5 м.

0пределить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: силу F, пару сил с моментом М, натяжение троса Т(по модулю Т = Р) и реакции связей Х_А, У_А, R_B (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем дву- мя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы F относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу F на составляющие F', F" (F' = F·cos α, F" = F· sin α) иучтем, что m_A (F) = m_A (F') + m_A (F"). Получим

Σ F_kx = 0, Х_A + R_B sin β— F cos α + Т sin γ = 0, (1)

Σ F_ky =0, У_A+R_B cos β +F sin α — Тcos γ = 0, (2)

Σ m_A (F_k) = 0,

М — R_B cos β·* 4l+ F cos α · 2l — F sin α ·.3l—Т sinγ·2l = 0. (3)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и, решив эти уравнения, определим искомые реакции.

0 т в е т Х_A = — 8,5 кН, Y_A = — 23,3 кН, R_B = 7,3 кН. Знаки указывают, что силы Х_A и Y_A -направлены противоположно показанным на рис. С1.

Задача С2

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ = 3l, ВС = 2l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС' (рис. С2.О-С2.9).

Таблица С2

Сила
Номер усло­вия	F1= 4 кН	F2 = 6 кН	F3 = 8 кН	F4= 10 кН
Точка прилож.		Точка прилож.		Точка прклож.		Точка прклож.
	D H - - E - - E - -	- - - - - -	- D E - - D H H - E	- - - -	E - - E H H - - D D	- - - -	- - D H - - D - E -	- - - - - -

На плиту действуют пара сил с моментом М= 6 кН·м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С2; при этом силы F₁ и F₄ лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила F₂ — в плоскости, параллельной xz, сила F₃ — в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, Е, Н) находятся в серединах сторон плиты.

Определить реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять l = 0,8м.

Указания. Задача С2 — на равновесие тела под действием пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) — две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. При вычислении моментов силы F тоже часто удобно разложить ее на составляющие F' и F", параллельные координатным осям; тогда, по теореме Вариньона. m_x (F) = m_x (F')+ + m_x (F") и т.д.

Пример С2. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. С2) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD', лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила F₁, (в плоскости xz), сила F₂, (параллельная оси у) и пара сил с моментом М (в плоскости плиты).

Дано: Р= 5 кН, М= 3 кН • м, F₁ = 6 кН, F₂ = 7,5 кН, α = 30⁰, АВ = 1 м, ВС = 2 м, СЕ = 0,5 АВ, BК = 0,5 ВС.

0пределить: реакции опор А, В и стержня DD'.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют заданные силы Р, F₁, F₂, и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие Х_A, У_A, Z_A, цилиндрического (подшипника) — на две составляющие Y_B, Z_B (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию N стержня на- правим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

2. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

Σ F_kx = 0, Х_A + F₁, соs α = 0, (1)

Σ F_ky = 0, Y_A + Y_B + F₂ — N cos 75⁰ = 0, (2)

Σ F_kz = 0, Z_A + Z_B — Р — N sin 75⁰ + F₁ sin α = 0, (3)

Σ m_x (F_k) = 0, — F₂ * ВК + N cos 75⁰ * BC = 0, (4)

Σ m_y (F_k) = 0, Р * AB/2 + F₁ cos α * BC — F₁ sin α * AB/2—Z_A * AB + N sin 75⁰ * AB + M = 0, (5)

Σ m_z (F_k) = 0, Y_A * АВ — N cos 75⁰ * АВ= 0. (6)

Для определения момента силы F₁, относительно оси у разлагаем F₁, на составляющие F'₁, и F"₁, параллельные осям х и z (F'₁ = F₁* соs α, F"₁ = F₁* sin α), и применяем теорему Вариньона (см. указания). Аналогично можно поступить при определении моментов реакции N.

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех задан- ных величин и решив затем эти уравнения, найдем, чему равны искомые реакции.

0 т в е т: Х_A = -5,2 кН, Y_A = 3,8 кН, Z_A = 28,4 кН, Y_B = — 7,5 кН, Z_B = —12,4 кН, N = 14,5 кН. Знаки указывают, что силы Х_A, Y_B и Z_B направлены противоположно показанным на рис. С2.