Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой т1 = 24 кг и груза D массой т2 = 8 кг; плита или движется вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д2.0 —
Д2.4), или вращается вокруг вертикальной оси z, лежащей в плоскости плиты (рис. Д2.5 — Д2.9).
В момент времени t0 = 0 груз начинает двигаться под действием внутреннихсил по имеющемуся на плите желобу; закон его движения s = АD= F (t) задан в табл. Д2, где s выражено в метрах, t — в секундах. Форма желоба на рис. Д2.0, Д2.1, Д2.8, Д2.9 — прямолинейная (желоб КЕ), на рис. Д2.2 — Д2.7 — окружность радиуса R = 0,8 м с центром в центре масс С, плиты (s = AD на рис. Д2.2 — Д2.7 отсчитывается по дуге окружности).
Плита (рис. Д2.0 — Д2.4) имеет в момент t0 = 0 скорость V0 = 0.
Плита (рис. Д2.5-Д2.9) имеет в момент времени t0 = 0 угловую скорость ω0 = 8 с ', ив этот момент на нее начинает действовать вращающий момент М (момент относительно оси z), заданный в таблице в ньютонометрах и направленный как ω0, при М > 0 и в противоположную сторону при М < О. Ось z про ходит от центра С, плиты на расстоянии В; размеры плиты показаны на рисунках.
|
|
Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить указанное в таблице в столбцах 4 и 9, где обозначено: в столбце 4 (относится к рис. Д2.0-Д2.4) х1 — перемещение плиты за время от t0 = 0 до t1 = 1 с, V1 — скорость плиты в момент времени t1 = 1 с, N1 — полная сила нормального давления плиты на направляющие в момент времени t1 = 1 с (указать, куда сила направлена); в столбце 9 (относится к рис. 5 — 9) ω1— угловая скорость плиты в момент времени t1 = 1 с, ω = f(t) — угловая скорость плиты как функция времени.
На всех рисунках груз показан в положении, при котором s = AD > 0;
при s < 0 груз находится по другую сторону от точки А.
Указания. Задача Д2 — на применение теорем о движении центра масс и об изменении количества движения и кинетического момента системы. Теоремой о движении центра масс целесообразно воспользоваться в задаче, где нужно определить поступательное перемещение одного из тел системы (или реакцию связи), а теоремой об изменении количества движения — когда нужно определить скорость такого тела. Теорема об изменении кинетического момента применяется в задачах, где нужно найти угловую скорость или закон вращения одного из тел системы.
Таблица Д.2
Номер условия | Рис. 0 и 1 | Рис. 2 - 4 | Рис. 0-4 | Рис.5 - 7 | Рис. 8 и 9 | Рис. 5 - 9 | ||
Найти | b | M | Найти. | |||||
X1 | ω = f (t) | |||||||
U1 | ω1 | |||||||
N1 | 12t2 | ω = f (t) | ||||||
U1 | ω1 | |||||||
X1 | ω1 | |||||||
N1 | -12 | ω = f (t) | ||||||
U1 | ω1 | |||||||
X1 | ω1 | |||||||
N1 | -8t | ω = f (t) | ||||||
X1 | ω1 |
При решении задачи учесть, что абсолютная скорость груза слагается из относительной ипереносной скоростей (определяются так же, как при решении задачи КЗ), т.е. . Тогда количество движения груза а момент относительно оси z по теореме Вариньона (статика) будет ; эти моменты вычисляются так же, как моменты силы.
|
|
Конкретнее ход решения разъяснен в примерах Д2.
Указания. Задача Д2 — на применение теорем о движении центра масс и об изменении количества движения и кинетического момента системы. Теоремой о движении центра масс целесообразно воспользоваться в задаче, где нужно определить поступательное перемещение одного из тел системы (или реакцию связи), а теоремой об изменении количества движения — когда нужно определить скорость такого тела. Теорема об изменении кинетического момента применяется в задачах, где нужно найти угловую скорость или закон вращения одного из тел системы.
Момент инерции плиты относительно оси С1 z', направленной так же, как ось z на рис. Д2.5 — Д2.9, но проходящей через центр масс С1 плиты, равняется m1l2/12, гдеl — ширина плиты (в задаче l = ЗR или l = 4R). Для определения момента инерции Iz относительно оси г воспользоваться теоремой Гюйгенса о моментах инерции относительно параллельных осей. Ось z при изображении чертежа провести на том расстоянии b от центра C1, которое указано в таблице.
Пример Д2. К вертикальной плите 1 массой т1 с помощью невесомого стержня BD длиной l прикреплен груз D массой m2 (рис. Д2а). В момент времени t0 = 0 стержень начинает вращаться вокруг точки В так, что расстояние s = AD изменяется изменяется по закону s = F (t), где s — в метрах, t — в секундах.
Плита движется по горизонтальным направляющим и при t0 = 0 ее скорость U = U0
Дано: т1 =12 кг, m2 =6 кг, i=0,8 M, t1=2с,
U0 = 0, . (1)
1. Определение перемещения х1 плиты за время от t0 = 0 до t = t1 Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза. Изобразим действующие на нее внешние силы: силы тяжести , и суммарную реакцию направляющих. Проведем координатные оси xy так, чтобы ось y прошла через начальное положение центра масс плиты. Для определения х, воспользуемся теоремой о движении центра масс С системы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х, обозначая массу системы через m:
, или , так как
Интегрируя это уравнение, получим
, , (2)
где С1 и С2 — постоянные интегрирования.
Из формулы, определяющей абсциссу xC центра масс, следует, что для рассматриваемой системы , где х — абсцисса центра масс плиты, определяющая одновременно ее положение, — абсцисса груза D. Из рис. ДЗ а видно, что , где
и . (3)
В результате, найдя значение mxC и подставив его в (2), получим
. (4)
Для определения постоянных С1 и С2 понадобится еще одно уравнение, которое получим, продифференцировав обе части равенства (4) по времени; это даст:
, (5)
Где — скорость плиты. По начальным условиям при t = 0 х = 0, , = 0. Подставив эти величины в равенства (5) и (4), получим С1 = 0, С2 = m2l. При найденных значениях С1 и С2 из равенства (4) окончательно получим
.
Этот результат дает зависимость х от t Полагая здесь t = t1 = 2 с, найдем искомое перемещение х1. 0 т в е т: х1 = -0,4 м (плита переместится влево).
2. Определение скорости U1. При тех же условиях (1) найдем скорость и, плиты в момент времени t1 = 2 с.
Решение. Рассматриваем опять механическую систему, состоящую из плиты и груза, и изображаем действующие на нее внешние силы , и реакцию ; проводим оси ху (рис. Д26). Для определения и, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы, учитывая, что для рассматриваемой системы где и — количества движения плиты и груза соответственно. Составляя уравнение в проекции на ось х, получим
|
|
или ,
так как
Отсюда следует, что
или
. (6)
Для определения VDx рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к плите относительным, а движение са- мой плиты — переносным движением. Тогда , где численно Vпер и Vотн = . Покажем вектор на рис. Д2 б, направив его перпендикулярно BD в сторону положительного отсчета s или φ, и определим проекцию вектора на ось х; получим , где
и . (7)
В данной задаче можно еще найти, определив абсциссу точки D, т.е. (рис. Д2а); тогда , где , , а значение cos φ дает равенство (7).
При найденном значении VDx равенство (6), если учесть, что Ux = U,
а , примет вид
. (8)
По начальным условиям при t = 0 U = 0, что дает С1 = 0, и окончательно из (8) находим
.
Этот результат определяет зависимость U от t. Полагая здесь t = t1 = 2 с, найдем искомую скорость U1. От в е т: U1 = -0,48 м/с (скорость направлена влево).
3. Определение реакции N1. При тех же условиях (1) найдем реакцию N1 направляющих в момент времени t1 = 2 с.
Решение. Опять рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D), и изобразим действующие на нее внешние силы , и реакцию (рис. Д2а). Для определения N1 воспользуемся теоремой о движении центра масс системы и составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось у:
или , (9)
где m — масса системы; Р1 = m1g; Р2 = m2g. Из формулы, определяющей ординату центра масс системы, следует, что для рассматриваемой системы где, как видно из рис. Д2а, , . Тогда, используя равенство (7), получим
.
Вычисляя производные и учитывая, что h = const, получим
,
.
Подставив это значение в равенство (9), найдем зависимость N от t и из нее, полагая t = t1 = 2 с, определим искомую величину N1.
Ответ: N1 =197,3 Н.
4. Определение угловой скорости ω. Плита вращается вокруг оси z, лежащей в плоскости плиты (рис. Д2в), и в момент времени t0 =0, когда угловая скорость плиты равна ω0, на нее начинает действовать вращающий момент М.
Дано: дополнительно к условиям (1): ω0 = 5 c-1, M = kt, где k = 10 Н*м/с.
0пределить: ω = f(t) — зависимость угловой скорости плиты от времени.
Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D, и изобразим действующие на нее внешние силы: силы тяжести , и реакции и подпятника и подшипника и вращающий момент М.
|
|
Для определения ω применим теорему об изменении кинетического момента системы относительно оси z. Предварительно заметим, что так как силы и , параллельны оси z, а реакции и эту ось пересекают, то их моменты относительно оси z равны нулю. Тогда и теорема дает
или . (10)
Умножая обе части этого уравнения на dt и интегрируя, получим
. (11)
Для рассматриваемой механической системы
где и — кинетические моменты относительно оси z плиты и груза О соответственно. Поскольку плита вращается вокруг оси z, то
, где . (13)
Для определения рассмотрим движение груза как сложное, считая его движение по отношению к плите относительным, а вращение плиты вокруг оси z — переносным движением. Тогда по теореме Вариньона,
. (14)
Но вектор лежит в одной плоскости с осью z и, следовательно, . Вектор направлен перпендикулярно плите (как ось Х, если осьь Y в плоскости плиты); по модулю . Тогда . Но из рис. Д2в видно, что DD1 =l + l sin φ. Взяв значение sin φ из формулы (3) и подставив все найденные величины в равенство (14), получим
. (15)
Зная и [формулы (13) и (15)], найдем из равенства (12) значение Kz., тогда уравнение (11) примет вид
. (16)
или при числовых значениях задачи
Постоянную интегрирования определим по начальным условиям: при t = 0 ω = ω0 = 5 с-1; получим С1 = 128. При этом значении С, из уравнения (16) находим искомую зависимость ω от t.
Ответ:
.
Примечание. Из полученного результата можно найти и значение ω1 при t = t1. Но если по условиям задачи одновременно М = 0, то уравнение (10) дает Кz = const, и тогда обычно проще не искать зависимость ω от t в общем виде, а сначала определить положение груза D npu t = 0 (т.е. угол φ0) и вычислить значение Kzo при φ = φ0 и ω =ω0 с помощью равенств, аналогичных (11) — (15); затем определить положение груза при t = t1 (угол φ1) и тем же путем найти Kz1 при φ = φ1 и ω = ω1. Так, в рассмотренном примере при t = 0 будет φ0 = π/2 и DD1 = 2l (рис Д2в),а при t = t1 = 2 с будет φ1 = — π/6 и DD1 =l/2. Тогда
, .
Значение ω1 находится из равенства Kz1 = Кzо.