Основные понятия по теме

Случайной называют величину, принимающую в результате эксперимента одно, и только одно возможное значение, заранее неизвестно какое именно и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены. Случайная величина является обоснованной моделью для описания данных геофизических измерений в силу целого ряда случайных факторов, влияющих на показания геофизического поля. Как и для результата отдельного эксперимента, для случайной величины можно установить статистические закономерности, т. е. определить вероятности ее значений.

Случайные величины (СВ) бывают непрерывные и дискретные. Первые из них принимают любые значения на числовой оси. Дискретная СВ принимает вполне определенные значения х₁, х₂,..., х_n с вероятностями р_i.

Универсальной характеристикой случайной величины является функция распределения F(x), определяющая для каждого значения х на числовой оси вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. F(x)=P(X<x). Она обладает следующими свойствами:

Вероятность попадания значений СВ в интервал (х₁,х₂) определяется соотношением:

P(x₂<X<x₁)= F(x₂)–F(x₁). (1.1)

Значение СВ, для которого функция распределения принимает конкретно заданное значение, называется квантилью распределения, т.е. квантиль – есть аргумент распределения.

Другая важная характеристика СВ – плотность распределения f(x). Плотность распределения

(1.2)

обладает следующими свойствами:

Случайные величины, помимо законов распределения, могут так же описываться числовыми характеристиками, выражающими наиболее существенные особенности распределения. Среди них различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) и характеристики рассеивания (дисперсия, среднее квадратическое отклонение, различные моменты распределения).

Математическое ожидание (среднее значение) для дискретной и непрерывной величины определяется соотношениями:

(1.3)

Мода Мо – такое значение СВ, при котором f(х) максимальна (наиболее вероятное значение СВ). Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь множество значений (мультимодальное распределение).

Медиана Ме (квантиль порядка 0,5) – это такое значение СВ, при котором функция распределения равна 0,5, т. е. относительно него равновероятно получение как большего, так и меньшего значения СВ.

Дисперсия характеризует рассеяние СВ, т.е. показывает, насколько тесно сгруппированы возможные значения СВ около центра рассеяния (математического ожидания). Она определяется выражениями:

(1.4)

Среднее квадратическое отклонение

Коэффициент вариации V=σ/Mx.

Начальный момент k-го порядка:

Центральный момент k-го порядка:

Математическое ожидание – начальный момент 1-го порядка, дисперсия - центральный момент 2-го порядка. Из центральных моментов следует отметить еще моменты 3-го и 4-го порядков.

Асимметрия распределения А=μ₃/σ³ служит характеристикой «скошенности» (асимметрии) распределения, у симметричного распределения А=0.

Эксцесс распределения Е= μ₄/σ⁴ -3 – служит для характеристики т.н. «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения (3 вычитается, чтобы эксцесс наиболее распространенного нормального распределения был равен нулю). Кривые более островершинные, чем нормальная, обладают положительным эксцессом, более плосковершинные – отрицательным.

Для описания распределения геофизических свойств и полей наиболее широко применяется нормальный закон распределения (закон Гаусса). Он проявляется во всех тех случаях, когда СВ Х является результатом действия большого числа различных факторов (центральная предельная теорема). Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

(1.5)

где параметры распределения и σ имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии случайной величины, распределенной по нормальному закону.