2015-10-22
1306
Министерство образования и науки Российской Федерации
Филиал Санкт-Петербургского государственного морского
Технического университета
Севмашвтуз
Г.К. Усачев
Определение напряжений и деформаций по заданному тензору напряжений
Методические указания к расчетно-графической работе
Северодвинск
Севмашвтуз
УДК 539.3
Усачев Г.К. Определение напряжений и деформаций по заданному тензору напряжений:Методические указания к расчетно-графической работе работам. - Северодвинск: Севмашвтуз, 2006. - 24 с.
Ответственный редактор профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство верфи» Г.М. Рижинашвили
Рецензенты: к.т.н., доцент А.В. Руденко;
Начальник ПТО МУП СМУ-7 г. Северодвинска А.А. Синявин.
Методические указания соответствуют дисциплине ЕН.Ф.06.03 «Техническая физика. Физика твердого деформируемого тела».
Изложена последовательность расчетов напряжений и деформаций в точке нагруженного тела при заданном тензоре напряжений.
Методические указания предназначены для студентов технических вузов, изучающих «Физику твердого деформируемого тела».
Количество таблиц: 0, количество иллюстраций: 5, количество библиографических ссылок: 5.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Севмашвтуза.
Лицензия на издательскую деятельность
Код221. Серия ИД. №01734 от 11 мая 2000 г.
ISBN 5-7723-0078-4 ã Севмашвтуз, 2006
Содержание
Введение. 4
1. Задание и исходные данные. 5
2. Пример расчета. 6
2.1. Определение инвариантов напряженного состояния. 6
2.2. Определение главных напряжений. 7
2.3. Определение положения главных осей тензора напряжений. 9
2.3.1. Вычисление направляющих косинусов 
................. 10
2.3.2. Вычисление 
.................... 11
2.3.3. Вычисление 
................... 12
2.4. Проверка правильности вычисления главных напряжений и положения главных осей тензора напряжений. 12
2.5. Вычисление максимальных касательных напряжений, полного, нормального и касательного напряжений по заданной площадке. 14
2.6. Определение составляющих тензора деформаций в исходной системе координат. 16
2.7. Определение главных деформаций. 17
2.8. Определение направлений главных осей тензора деформаций. 18
2.8.1. Вычисление направляющих косинусов ................. 19
2.8.2. Вычисление направляющих косинусов 
.................. 19
2.8.3. Вычисление направляющих косинусов .................. 20
2.9. Сравнение матриц направляющих косинусов главных осей тензоров напряжений и деформаций. 20
Список литературы.. 21
Введение
При выполнении расчетно-графической работы студенты должны понять, что напряжения, возникающие в точках нагруженного тела, зависят не только от величины нагрузки, но и от ориентации площадки, где они действуют. По разным площадкам действуют разные напряжения, причем каждое напряжение является не самостоятельным объектом, а составляющим объекта, который называется напряженное состояние в точке.
Напряженным состоянием в точке нагруженного тела называется совокупность напряжений, действующих по всем площадкам, проведенным через эту точку. Для оценки прочности тела в любой точке необходимо знать именно напряженное состояние в этой точке, а не напряжение по какой-либо площадке. Исследуя напряженное состояние тела в данной точке, около нее выделяют элементарный параллелепипед. К граням параллелепипеда приложены напряжения, заменяющие воздействие удаленной части тела.
Напряженное (как и деформированное) состояние в точке является тензорным объектом. Все его свойства (как, например, существование инвариантов напряжений, главных напряжений и др.) обусловлены не спецификой напряженного или деформированного состояния, а спецификой симметричного тензора второго ранга. Если известен тензор напряжений, то можно вычислить напряжения на любой площадке, проведенной через данную точку.
Тензор является более сложным понятием, чем вектор и скаляр. Ему можно дать следующее определение:
тензором называется физический или математический объект, составляющие которого преобразуются по закону, действующему для произведений координат векторов [4].
Тензор является инвариантным объектом. Он представляется матрицей, элементы которой зависят от системы координат, однако тензор зависит только от положения точки в теле, но не зависит от выбранной системы координат.
Тензорное исчисление возникло в средине XIX века в связи с решением задач теории упругости для того, чтобы компактно записывать громоздкие преобразования объектов (напряжений, деформаций) при переходе от одной системы координат к другой. Однако широкое применение оно получило лишь в XX в. Например, А. Эйнштейн свою диссертацию по теории относительности написал в тензорной форме.
Тензорное исчисление излагается в многочисленной математической и специальной научной литературе. Познакомиться с ним можно, например, в книгах [2], [3], [4], [5].
Задание и исходные данные
Рис. 1. Напряженное состояние в точке
Напряженное состояние в точке задается тензором напряжений в системе координат 
:
.
Задание
По заданному тензору напряжений
,
где № - номер варианта,
выполнить следующие расчеты:
1) вычислить инварианты напряженного состояния 
;
2) вычислить главные напряжения 
;
3) вычислить направляющие косинусы главных осей тензора напряжений
;
4) выполнить проверку правильности определения главных напряжений и положения главных осей;
5) рассчитать главные касательные напряжения и показать площадки, на которых они действуют;
6) рассчитать полное, нормальное и касательное напряжения по площадке с заданными направляющими косинусами:
,
где № - номер варианта; 
- нормаль к площадке;
7) вычислить составляющие тензора деформаций в исходной системе координат, приняв модуль Юнга и коэффициент Пуассона равными:
;
8) найти главные деформации 
;
9) найти направляющие косинусы главных осей тензора деформаций;
10) сравнить значения направляющих косинусов для главных осей тензоров напряжений и деформаций. Если есть расхождения, то вычислить погрешность расчетов в процентах.
Пример расчета
Допустим, что в некоторой точке нагруженного тела (рис. 1а) вычислены напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам. Если ввести систему координат так, чтобы координатные плоскости совпадали с этими площадками, то напряжения будут являться составляющими тензора напряжений в этой системе координат.
Исходные данные
1. Пусть задан следующий тензор напряжений:
.
2. Направляющие косинусы площадки, по которой нужно вычислить напряжения в соответствии с п. 6 задания, равны:
.
2.1. Определение инвариантов напряженного состояния
Инвариантом называется величина, независящая от системы координат. В частности, напряженное состояние в любой точке является инвариантом, несмотря на то, что составляющие тензора в разных системах координат, т.е. напряжения, действующие по координатным площадкам, различны. Однако, имеются выражения, составленные из напряжений по координатным площадкам, которые остаются постоянными в любой системе координат. Эти выражения и называются инвариантами напряженного состояния в точке или инвариантами тензора напряжений.
(2.1)
