2015-10-22
3742
Составляется и решается система из двух уравнений с двумя неизвестными. Находим частные производные функции 
по переменным а и b, приравниваем эти производные к нулю.
Решаем полученную систему уравнений любым методом (например методом подстановки или методом Крамера) и получаем формулы для нахождения коэффициентов по методу наименьших квадратов (МНК).
При данных а и b функция 
принимает наименьшее значение. Доказательство этого факта приведено ниже по тексту в конце страницы.
Вот и весь метод наименьших квадратов. Формула для нахождения параметра a содержит суммы 
, 
, 
, 
и параметр n - количество экспериментальных данных. Значения этих сумм рекомендуем вычислять отдельно. Коэффициент b находится после вычисления a.
Пришло время вспомнить про исходый пример.
Решение.
В нашем примере n=5. Заполняем таблицу для удобства вычисления сумм, которые входят в формулы искомых коэффициентов.
Значения в четвертой строке таблицы получены умножением значений 2-ой строки на значения 3-ей строки для каждого номера i.
|
|
|
Значения в пятой строке таблицы получены возведением в квадрат значений 2-ой строки для каждого номера i.
Значения последнего столбца таблицы – это суммы значений по строкам.
Используем формулы метода наименьших квадратов для нахождения коэффициентов а и b. Подставляем в них соответствующие значения из последнего столбца таблицы:
Следовательно, y = 0.165x+2.184 - искомая аппроксимирующая прямая.
Осталось выяснить какая из линий y = 0.165x+2.184 или 
лучше аппроксимирует исходные данные, то есть произвести оценку методом наименьших квадратов.
