Правильные многогранники в MathCAD

Для того, чтобы получить правильный многогранник, согласно его определению, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником. Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360 градусов, иначе многогранной поверхности не получится. Перебирая возможные целые решения неравенств:

60*k < 360

90*k < 360

108*k < 360

можно доказать, что правильных многогранников - ровно пять (здесь k обозначает число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника).

Названия "тетраэдр", "гексаэдр", "октаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" на греческом дословно означают "четырехгранник", "шестигранник", "восьмигранник", "двенадцатигранник", "двадцатигранник".

Для построения многогранников в Mathcad есть функция Polyhedron. Её можно использовать двумя способами:

с аргументом по имени, тогда обращение к функции будет иметь вид Polyhedron("имя многогранника");

с аргументом по коду, тогда обращение к функции будет иметь вид Polyhedron("#номер многогранника").

Вообще, аргумент функции Polyhedron может принимать значения от 1 до 80 включительно с предшествующим знаком "диез" (#), так что она умеет строить не только правильные многогранники, но и правильные невыпуклые многогранники и прочие звёздчатые формы.

Возможно, не все из этих штуковин ещё имеют имена, спешите увековечить своё, вдруг какой-нибудь дельтоидальный икоситетраэдр да ещё не назван:)

Здесь нет нормальной сводки формул для площадей и объёмов правильных многогранников (зато есть красивые анимации для них), а сводка формул имеется в приложенном документе MathCAD (формат.xmcd), вот его фрагмент

Только для додекаэдра и икосаэдра при длине ребра многоугольника a=2 или a=1 можно выразить основные формулы через константу "золотого сечения".

Построение графика функции z=f(x,y) в виде поверхности в декартовой системе координат

Для построения графика поверхности можно воспользоваться двумя способами:

1. Если вам надо только посмотреть общий вид поверхности, то MathCAD предоставляет возможность быстрого построения подобных графиков. Для этого достаточно определить функцию f(x,y) и выполнить команду Insert -> Graph -> Surface Plot или нажать соответствующую кнопку наборной панели Graph (соченание клавиш [Ctrl+7]). В появившейся графической области под осями на месте шаблона для ввода надо указать имя (без аргументов) функции. MathCAD автоматически построит график поверхности. Независимые переменные x и y принимают значения из промежутка [-5,5].

При необходимости этот промежуток может быть уменьшен или увеличен. Для этого необходимо выделить график и воспользоваться командой Format -> Graph -> 3D Plot или щелкнуть ПРАВОЙ кнопкой мыши по выделенному графику и в контекстном меню выбрать команду Format. В появившемся окне 3-D Plot Format на вкладке QuickPlot Data можно установить другие параметры изменения независимых переменных x и y.

Для построения графика поверхности в определенной области изменения независимых переменных или с конкретным шагом их изменения необходимо сначала задать узловые точки xi и yj, в которых будут определяться значения функции. После (а можно и до) этого надо определить функцию f(x,y), график которой хотите построить. После этого необходимо сформировать матрицу значений функции в виде: Ai,j=f(xi,yj).

Теперь после выполнения команды Insert -> Graph -> Surface Plot в появившейся графической области достаточно ввести имя матрицы (без индексов).

Если вы хотите, чтобы узловые точки были расположены через равные промежутки, воспользуйтесь формулами, изображенными на рисунке.

Для построения графика линий уровня данной функции необходимо поступать также как это было описано выше, только вместо команды (Поверхности) следует выбрать команду Contour Plot (Контурный). Аналогично, при помощи команды 3D Bar Plot (3D Диаграммы) можно построить трехмерный столбчатый график данной функции, при помощи команды 3D Scatter Plot (3D Точечный) - трехмерный точечный график, а при помощи команды 3D Patch Plot (3D Лоскутный) - трехмерный график поверхности в виде несвязанных квадратных площадок - плоскостей уровня для каждой точки данных, параллельных плоскости X-Y