Пусть { e 1,…, e n } и { f 1,…, f n } - 2 базиса в линейном пространстве L. Первый будем считать исходным, а второй – новым. Все векторы нового базиса разложим по векторам исходного: , или в матричной форме записи (f 1,…, f n) =(e 1,…, e n)× А, или , где − матрица перехода от базиса { ei } к базису { f j }, столбцами которой являются координаты векторов f j в базисе { ei }.
Так как, по условию, столбцы матрицы A линейно независимы, ее определитель не равен нулю и она имеет обратную. Следовательно, переход от базиса { f j } к базису { e i } можно осуществлять по формуле (e i)=(f j) А -1.
Пусть b – произвольный элемент из L. В базисе { e i } он равен: , или, в матричной форме: b =(e 1,…, e n)×(b 1,…, b n)т.
Соответственно, в базисе { f j } имеет место равенство b =(f 1,…, f n)×(b 1,…, b n)т.
Отсюда: (e 1,…, e n)×(b 1,…, b n)т =(f 1,…, f n)×(b 1,…, b n)т.
Подставляя { f 1,…, f n } из формулы перехода, получим: (e 1,…, e n)×(b 1,…, b n)т=(e 1,…, e n)× А ×(b 1,…, b n)т.
Т.к. b произвольный вектор L, имеем:
(b 1,…, b n)т = А ×(b 1,…, b n)т - формула пересчета новых координат в старые и
|
|
(b 1,…, b n)т = А -1×(b 1,…, b n)т - формула пересчета старых координат в новые.
Таким образом, для вычисления столбца координат (x){ f } в новом базисе приходится решать СЛАУ со столбцом старых координат (x){ e } в правой части: A × (x){ f }=(x){ e }