Если два вектора a и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе
а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид
Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:
Смешанное произведение
Смешанное произведение (a, b, c) векторов a, b, c — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c:
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов.
Свойства
- Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
- Смешанное произведение (a, b, c) в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов a, b и c:
- Геометрический смысл — Смешанное произведение (a, b, c) по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами a, b и c; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.