Уравнения прямой в пространстве

Рассмотрим в пространстве прямую a, проходящую через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором прямой а (рис.14).

Рис.14

Пусть точка - текущая точка прямой. Вектор лежит на прямой и коллинеарен вектору . Из условия коллинеарности двух векторов, имеем:

Эти уравнения - канонические уравнения прямой в пространстве.

Если в канонических уравнениях ввести параметр t: , получим параметрические уравнения прямой:

Прямую можно задать как линию пересечения двух плоскостей (рис.15):

Рис.15

- общие уравнения прямой в пространстве.

Уравнения прямой, проходящей через две точки и :

Угол между прямыми равен острому углу между их направляющими векторами (рис.16) и вычисляется по формуле:

Рис.16

Пример. Прямая задана общими уравнениями

а) Написать для этой прямой канонические и параметрические уравнения;

б) Найти угол между прямой и прямой ,заданной уравнениями

Решение.

а)Выберем одну из точек, через которую пройдет указанная прямая, заданная пересечением плоскостей. Исходная система имеет бесчисленное множество решений, одно из которых получим придавая одной из переменных конкретное значение. Пусть , тогда значения других неизвестных находим из системы

Решением этой системы является пара чисел .

В результате получим точку , через которую проходит искомая прямая. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор , где , - нормальные векторы плоскостей, линией пересечения которых является прямая. Таким образом,

Запишем канонические уравнения прямой :

Получим из канонических параметрические уравнения прямой:

б) Направляющий вектор прямой , направляющий вектор прямой Угол между прямыми и равен острому углу между их направляющими векторами:

Угол между прямой и плоскостью

Пусть заданы прямая a и плоскость (рис.17):

Прямая c направляющим вектором

Плоскость с вектором нормали

Рис.17

Угол между прямой а и плоскостью вычисляется по формуле:

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно параметрические уравнения прямой подставить в уравнение плоскости и найти параметр , соответствующий точке пересечения.