Пример решения задачи

Дано:

m ₁ = 100 г = 0,1 кг

m ₂ = 700 г = 0,7 кг

m = 300 г = 0,3 кг

d = 30 мм = 30×10^{-3 м}

H = 0,2 м

Найти:

1. Силы реакции шнура F₁ и F₂.

2. Линейное ускорение грузов a.

3. Угловое ускорение блока e.

4. Время, в течении которого груз m₁ или m₂ упадет на поверхность t_п.

5. Количество оборотов, совершенных блоком до падения груза на поверхность N.

6. Построить графики зависимости от времени линейной скорости грузов v(t), угловой скорости блока ω(t), кинетической энергии грузов E_к1 (t) и Е_к2 (t), потенциальной энергии грузов E _п1(t) и E _п2(t), момента импульса блока L (t).

Грузы совершают поступательное ускоренное движение, блок – вращательное ускоренное движение. По условию задачи m₂ > m₁, поэтому груз m₂ опускается, а груз m₁ поднимается.

2-й закон Ньютона для 1-го груза:

(1)

где F₁ - сила реакции шнура, приложенная к грузу, g = 9,8 м/с² - ускорение свободного падения, a – линейное ускорение груза, m₁g – сила тяжести груза.

2-й закон Ньютона для 2-го груза:

(2)

Уравнение динамики вращательного движения блока:

, (3)

где M – результирующий момент сил, приложенных к блоку, I – момент инерции блока, ε – угловое ускорение блока.

Так как груз m₂ опускается, то . Результирующий момент сил, приложенных к блоку, равен

, (4)

где и - силы натяжения шнура, приложенные к блоку, - радиус блока.

Момент инерции блока (сплошного цилиндра) равен

, (5)

Считаем, что шнур не проскальзывает по блоку. Тогда:

(6)

Согласно третьему закону Ньютона ; . Поэтому уравнение (4) принимает вид:

(7)

Подставив соотношения (7), (5) и (6) в формулу (3), получим:

Отсюда следует:

(8)

Уравнения (1), (2) и (8) - это система трех уравнений с неизвестными величинами: F₁ , F₂, а.

Запишем эту систему в канонической форме. Все неизвестные величины переносим в левую часть уравнения, известные – в правую часть уравнения. Если в уравнении отсутствует какая либо неизвестная величина, то ее записываем с множителем «ноль».

Определитель системы равен:

(9)

Далее по правилам математики находим определители неизвестных величин:

DF₁

DF₂

Da

Определяем силы F₁ и F₂ и ускорение грузов а:

(10)

(11)

(12)

Проверка единиц измерений:

Здесь кг - килограмм, м – метр, с - секунда, Н – ньютон.

Зависимость скорости грузов Vот времени даётся уравнением:

(13)

Путь S, пройденный телами при падении груза m₂:

(14)

Если S = H, то груз m₂ упадет на поверхность. Полагая в формуле (14) S = H, находим время падения груза t_n:

(15)

Угол поворота радиуса блока:

Количество оборотов блока, совершенное до падения груза на поверхность:

(16)

Кинетическая энергия 1-го груза:

(17)

Кинетическая энергия 2-го груза:

(18)

Зависимость угловой скорости блока от времени:

(19)

Кинетическая энергия блока:

(20)

Потенциальная энергия первого груза:

(21)

Потенциальная энергия второго груза:

, (22)

где () и () - высоты грузов m₁ и m₂ над поверхностью.

Момент импульса блока:

(23)

Вычисления

1. Определитель системы (формула (9)):

D = кг

2. Силы реакции шнура (формулы (10),(11)):

F₁ = Н

F₂ = Н

3. Ускорение грузов (формула (12)):

a = м/с²

4. Угловое ускорение блока (формула (6)):

e = рад./с²

5. Момент инерции блока (формула (5)):

I = кг×м²

6. Время падения груза (формула (15)):

t_п = с

7. Количество оборотов (формула (16)):

N =

Для построения графиков проводим вычисления по формулам (13), (17) - (23) для различных моментов времени в интервале от 0 до t_n. Шаг по времени выбираем таким, чтобы на графиках было не менее пяти точек.

Результаты вычислений:

F₁ = 1,2 H F₂ = 1,52 H a = 2,178 м/с²

t c	м/с	Ω с-1	Eк1 Дж	Ек2 Дж	Eк Дж	Еп1 Дж	Еп2 Дж	L
						0,196	0,392
0,05	0,109	7,26	0,0006	0,001	0,0009	0,199	0,387	0,00025
0,1	0,218	14,52	0,002	0,005	0,004	0,207	0,371	0,00049
0,15	0,327	21,78	0,005	0,011	0,008	0,220	0,344	0,00074
0,2	0,436	29,04	0,01	0,019	0,014	0,239	0,307	0,00098
0,25	0,545	36,3	0,015	0,03	0,022	0,263	0,259	0,00123
0,3	0,653	43,56	0,021	0,043	0,032	0,292	0,2	0,00147
0,35	0,762	50,82	0,029	0,058	0,044	0,327	0,131	0,00172
0,4	0,871	58,08	0,038	0,076	0,057	0,367	0,05	0,00196
0,429	0,934	62,29	0,044	0,087	0,065	0,392		0,00210

На основании табличных данных построить графики зависимости v, Ω, E_к1, E_к2, E_к, Е_п1, Е_п2, L от времени t.

Из приведенных в таблице данных следует, что полная механическая энергия системы в отсутствии трения не меняется.

Действительно, при t=0 полная энергия равна:

.

При падении груза (t=0,429 с) полная энергия равна:

Ниже в качестве примера показаны 3 из требуемых 8 графиков