Контрольная работа № 4

(Задания 1 и 2)

Задание 1.

1. Номер варианта определяется по таблице, представленной на стр. 4.

2. В соответствии со своим вариантом используйте начальные данные, представленные в следующей таблице:

№ вар.	D мм	t1 oC	t2 oC	t мин	t3oC	А Т
						0,85
						0,95
						0,9
						0,95
						0,9
						0,9
						0,85
						0,8
						0,85
						0,8
						0,86
						0,8
						0,75
						0,8
						0,95

Условие задачи:

В сталеплавильной печи происходит нагрев металлической заготовки, имеющей форму цилиндра диаметром D. В процессе нагрева температура заготовки равномерно возрастает от t₁ до t₂ в течение времени τ.

Пример решения задачи

Дано:

D = 1780 мм =1,78 м;

τ = 140 мин = 8400 с;

А _Т = 0,8;

t₁ = 500 ^oC;

t₂= 1550 ^oC;

t₃ = 600 ^oC

Найти: 1. Энергию теплового излучения W за время τ с поверхности основания цилиндрической заготовки. 2. Массу m всех испускаемых фотонов за то же время. 3. Длину волны λm, соответствующую максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости Rλ,Т при температуре t3. 4. Частоту ν, массу m1 и импульс р фотона, характеризующегося длиной волны λm. 5. Количество фотонов n, которые испускаются поверхностью металла за 1 секунду при температуре t3. При расчете принимать во внимание только те фотоны, длины волн которых лежат в интервале λm ± Δ0,01 λm. Металлическую заготовку считать серым телом, поглощательная способность которого равна АТ.

Согласно закону Стефана-Больцмана энергетическая светимость абсолютно черного тела равна:

R^*=σ×T⁴, (1)

где σ = 5,67·10^-8 Вт/(м²К⁴) - постоянная Стефана-Больцмана, Т - абсолютная температура.

Для серого тела этот закон записывается так:

R= А_Т×σ×T⁴ , (2)

где А _Т - поглощательная способность тела.

В процессе нагрева температура непрерывно изменяется. Поэтому энергия, испускаемая поверхностью заготовки S за время τ, равна:

(3)

Если температура металла за время τ возрастает по линейному закону от Т₁ до Т₂, то зависимость Т(t) можно представить в виде:

, (4)

где – скорость возрастания температуры.

Подставив (4) в (3), получим:

Произведем замену переменных:

При t = 0 х = Т₁, а при t= τ х = Т₂.

Тогда можно записать:

В результате интегрирования получим:

(5)

Проверка единиц измерений:

Определим площадь поверхности металла:

Значения абсолютных температур Т₁ и Т₂ соответственно равны:

Т₁ =t₁+273 = 500+273 = 773 К

Т₂ =t₂+273 = 1550+273 = 1823 К

Используя формулу (5), определим энергию теплового излучения:

Массу фотонов, испускаемых поверхностью металла за время τ, определим, используя закон пропорциональности энергии и массы

W=m×c²(6)

где с = 3·10⁸ м/с - скорость света.

Длину волны λ_m , соответствующую максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости R_λ,Т при температуре t₃, определим, используя закон смещения Вина:

(7)

Здесь b = 2,9·10^-3 м·К - постоянная Вина, Т₃ = t₃ + 273 = 600+273 = 873 К

Частота излучения ν, соответствующая длине волны λ_m, равна:

Массу одного фотона m₁ определим из соотношения:

m₁×c² = h×ν, (8)

где m₁×c² – энергия фотона, определяемая по релятивистской формуле,

h×ν - энергия фотона, определяемая по формуле Планка,

h - постоянная Планка, равная 6,63·10^-34 Дж·с.

Импульс фотона p определим из формулы де Бройля:

Количество фотонов n, испускаемых поверхностью металла в единицу времени при температуре t₃ в интервале длин волн λ_m ± Δ0,01 λ_m, можно определить из соотношения:

, (9)

где выражение представляет собой мощность излучения с единицы поверхности, приходящуюся на интервал длин волн λ_m ± Δ0,01 λ_m .

Величина R^*_l,T является спектральной излучательной способностью абсолютно черного тела.

Так как интервал Δλ_m мал по сравнению с λ_m, то интеграл можно заменить выражением 2×Δ λ_m×(R^*_λ,Т)_m, где (R^*_λ,Т)_m - максимальное значение спектральной излучательной способности абсолютно черного тела.

Величину (R^*_λ,Т)_m можно найти двумя способами.

1. По формуле Планка:

(10)

2. По второму закону Вина:

(R^*_λ,Т)_m =С₁×Т⁵, (11)

где С₁ – константа, равная 1,3·10^-5 Вт/(м³К⁴).

Проведем вычисление (R^*_λ,Т)_m по формуле (11) для температуры Т₃:

(R^*_λ,Т)_m = 1,3·10 ^-5 ·873 ⁵ = 6,59·10⁹ Вт/м³

Формула (9) примет окончательный вид:

По этой формуле проведем вычисление n, учитывая, что Δλ_m = 0,01λ_m.

Задание 2.

1. Номер варианта определяется по таблице, представленной на стр. 4.

2. В соответствии со своим вариантом используйте начальные данные, представленные в следующей таблице:

№ варианта	l нм	А эВ
		2,0
		3,1
		2,9
		1,1
		1,2
		0,3
		2,3
		4,1
		2,7
		1,1
		1,5
		1,3
		3,5
		1,4
		0,7

Условие задачи:

Данное задание связано с явлением фотоэффекта, которым называется испускание электронов веществом под действием света. На рисунке приведена схема для исследования фотоэффекта. Свет падает на поверхность металлической пластины (фотокатода), выбивая при этом электроны, которые под действием сил электрического поля движутся к аноду. Таким образом в цепи появляется электрический ток.