Рішення типового варіанта

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

До виконання контрольної роботи

З аналітичної геометрії

(для студентів технічних спеціальностей)

Рекомендовано

на засіданні кафедри ВМ

Протокол № 6 від 13.03.07.

Затверджено

на засіданні методради ДонДТУ

Протокол № 7 від 18.05.07.

Алчевськ

ДонДТУ

УДК 517

ББК В11

М

Методичні вказівки до виконання контрольних робіт з курсу вищої математики (для студ. техн. спец.)/Укл.: Л.О.Горбатова.-Алчевськ: ДонДТУ, 2007.-42 с.

Надана програма курсу з посиланням на джерела та індивідуальні завдання для виконання контрольних робіт.

Укладачі: Л.О.Горбатова

Відповідальний редактор Т.В.Павленко, доц.

Відповідальний за випуск І.О. Смагіна, ст. викл.

Зміст

Вступ …………………………………………….…………………....4

1. Програма курсу.…………………………...……………………...5

1.1. Елементи лінійної алгебри ……..……………………….…5

1.2. Векторна алгебра ………………………………….……….. 5

1.3. Аналітична геометрія …………………………………….…6

2. Контрольна робота …………………..….…………………….7

Список рекомендованої літератури..………………..….………..….39

Додаток.………………….…………………………..…..…..……....40

Вступ

Подане видання містить варіанти індивідуальної контрольної роботи, яку студенти технічних спеціальностей мають виконати в першому семестрі при вивченні курсу вищої математики. Також у цьому виданні наведена розгорнута програма вищезазначеного курсу. Ця програма супроводжується посиланнями на відповідні сторінки в підручниках, де йдеться мова про той чи інший розділ програми. Таким чином, ці методичні вказівки можуть бути використані при підготовці до іспиту.

Програма курсу

1.1 Елементи лінійної алгебри

Матриці. Додавання матриць; множення матриці на число; до­буток матриць; ранг матриці. Одинична матриця; зворотна матриця. [1] С. 16-18; [2] С. 74-78, 86-88; [3] С. 21-30.

Визначники, їхньої властивості, обчислення. [1] С. 56; [2] С. 39-41, 70-73 [3] С. 12-17.

Рішення систем лінійних рівнянь: методом Гауса; по форму­лах Крамера; матричним способом. Теорема Кронекера – Капеллі. Системи однорідних лінійних рівнянь. Фундаментальна система рі­шень. [1] С. 18-23; [2] С. 41-43,79, 88-93; [3] С. 17-21, 28-30.

1.2 Векторна алгебра

Точка на площині й у просторі. Системи координат: декартова і полярна. Вектори на площині й у просторі. Додавання і вирахування векторів. Множення вектора на скаляр. Координати вектора. Направ­ляючі косинуси вектора. Дії над векторами в координатній формі. [1] С. 34-41, 46-48; [2] С. 6-9, 44-48; [3] С. 31-40.

Скалярний добуток двох векторів, його властивості і застосу­вання. [1] С. 42-46; [2] С. 48, 50; [3] С. 40-43.

Векторний добуток двох векторів, його властивості і застосу­вання. [1] С. 72-78; [2] С. 48-49, 50-51; [3] С. 43-46.

Мішаний добуток трьох векторів, його властивості і застосу­вання. [1] С. 78-80; [2] С. 49, 51-52; [3] С. 46-47.

1.3 Аналітична геометрія

Основні рівняння прямої на площині. Кут між прямими на площині. Умови паралельності і перпендикулярності прямих. Відстань від точки до прямої. [1] С. 49-57; [2] С. 15-25; [3] С. 55-60.

Канонічні рівняння кривих другого порядку: визначення окружності, еліпса, гіперболи, параболи; вивід їхніх рівнянь; основні характеристики цих ліній. [1] С. 135-149; [2] С. 25-35; [3] С. 60-67.

Площина і пряма лінія в просторі, їхнє взаємне розташування. [1] С. 57-69; [2] С. 53-62; [3] С. 72-78. Полярна система координат. [1] С. 9-10; [2] С. 67-70. Циліндричні і сферичні координати. [3] С. 307-308.

Завдання №1

Для даного визначника знайти мінори й алгебраїчні доповнення елементів a_i2, a_3j. Обчислити визначник:

а) розкладаючи його за елементами i- го рядка;

б) розкладаючи його за елементами j- го стовпця;

в) одержуючи попередньо нулі в i- му рядку.

1.1			-2			1.2			-1
			-2						-9
									-1
				-1
	i= 4, j=1.		i= 3, j=3.

1.3						1.4		-5	-1	-5
			-1				-3			-2
			-1	-3					-6
	i= 4, j=1.		i= 1, j=3.

1.5						1.6				-5
									-5
		-2							-2
			-2						-3
	i= 2, j=4.		i= 1, j=2.

1.7		-1				1.8				-2
								-1
		-1
				-2			-1			-3
	i= 2, j=3.		i= 3, j=1.

1.9						1.10		-2
	-4							-8		-3
				-2					-5
				-3			-8			-1
	i= 4, j=3.		i= 4, j=2.

1.11		-3		-1		1.12		-1
									-2
				-6
		-2								-2
	i= 3, j=4.		i= 1, j=2.

1.13				-3		1.14		-3
		-2						-2
		-3		-1
								-1
	i= 1, j=4.		i= 2, j=4.

1.15						1.16
		-1							-6
		-1					-2
		-1					-1
	i= 1,j=3		i= 3, j=2.

1.17		-1				1.18
				-1				-1
			-1
	i= 3, j=1	i= 2, j=4

1.19			-10			1.20	-1	-2
	-5	-7	-4
			-2	-6				-2
			-5						-2	-1
	i= 2, j=3		i= 4, j=3

1.21						1.22	-1		-2
	-2		-4
		-4	-1				-2
			-2	-1					-2
	i= 1, j=2		i= 3, j=2

1.23	-1					1.24
		-3					-1			-1

		-1						-1
	i= 4, j=4		i= 3, j=2

1.25			-2	-1		1.26		-5
	-2		-4						-1	-2
				-2					-3
				-1					-1
	i= 2, j=3		i= 4, j=1

1.27		-2				1.28			-1
				-1				-2
			-2						-3
			-4						-1
	i= 3, j=4		i= 1, j=2

1.29	-1	-2				1.30	-4
				-1				-1
		-3					-3
				-2					-2
	i= 4, j=4		i= 2, j=2

Завдання №2

Перевірити спільність системи рівнянь і у випадку спільності розв‘язати її:

а) за формулами Крамера;

б) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

в) методом Гауса.

1.1		1.2
1.3		1.4
1.5		1.6
1.7		1.8
1.9		1.10
1.11		1.12
1.13		1.14
1.15		1.16
1.17		1.18
1.19		1.20
1.21		1.22
1.23		1.24
1.25		1.26
1.27		1.28
1.29		1.30

Завдання №3

Довести, що вектори a, b, c утворюють базис, і знайти координати вектора d у цьому базисі.

3.1	a =(5;4;1);	b =(-3;5;2);	c =(2;-1;3);	d= (7;23;4).
3.2	a =(2;-1;4);	b =(-3;0;-2);	c =(4;5;-3);	d= (0;11;-14).
3.3	a =(-1;1;2);	b =(2;-3;-5);	c =(-6;3;-1);	d= (28;-19;-7).
3.4	a =(1;3;4);	b =(-2;5;0);	c =(3;-5;-4);	d= (13;-5;-4).
3.5	a =(1;-1;1);	b =(-5;-3;1);	c =(2;-1;0);	d= (-15;-10;5).
3.6	a =(3;1;2);	b =(-7;-2;-4);	c =(-4;0;3);	d= (16;6;15).
3.7	a =(-3;0;1);	b =(2;7;-3);	c =(-4;3;5);	d= (-16;33;13).
3.8	a =(5;1;2);	b =(-2;1;-3);	c =(4;-3;5);	d= (15;-15;24).
3.9	a =(0;2;-3);	b =(4;-3;-2);	c =(-5;-4;0);	d= (-19;-5;-4).
3.10	a =(3;-1;2);	b =(-2;3;1);	c =(4;-5;-3);	d= (-3;2;-3).
3.11	a =(5;3;1);	b =(-1;2;-3);	c =(3;-4;2);	d= (-9;34;-20).
3.12	a =(3;1;-3);	b =(-2;4;1);	c =(1;-2;5);	d= (1;12;-20).
3.13	a =(6;1;-3);	b =(-3;2;1);	c =(-1;-3;4);	d= (15;6;-17).
3.14	a =(4;2;3);	b =(-3;1;-8);	c =(2;-4;5);	d= (-12;14;-31).
3.15	a =(-2;1;3);	b =(3;-6;2);	c =(-5;-3;-1);	d= (31;-6;22).
3.16	a =(1;3;6);	b =(-3;4;-5);	c =(1;-7;2);	d= (-2;17;5).
3.17	a =(7;2;1);	b =(5;1;-2);	c =(-3;4;5);	d= (26;11;1).
3.18	a =(3;5;4);	b =(-2;7;-5);	c =(6;-2;1);	d= (6;-9;22).
3.19	a =(5;3;2);	b =(2;-5;1);	c =(-7;4;-3);	d= (36;1;15).
3.20	a =(11;1;2);	b =(-3;3;4);	c =(-4;-2;7);	d= (-5;11;-15).
3.21	a =(9;5;3);	b =(-3;2;1);	c =(4;-7;4);	d= (-10;-13;8).
3.22	a =(7;2;1);	b =(3;-5;6);	c =(-4;3;-4);	d= (-1;18;-16).
3.23	a =(1;2;3);	b =(-5;3;-1);	c =(-6;4;5);	d= (-4;11;20).
3.24	a =(-2;5;1);	b =(3;2;-7);	c =(4;-3;2);	d= (-4;22;-13).
3.25	a =(3;1;2);	b =(-4;3;-1);	c =(2;3;4);	d= (14;14;20).
3.26	a =(3;-1;2);	b =(-2;4;1);	c =(4;-5;-1);	d= (-5;11;1).
3.27	a =(4;5;1);	b =(1;3;1);	c =(-3;-6;7);	d= (19;33;0).
3.28	a =(1;-3;1);	b =(-2;-4;3);	c =(0;-2;3);	d= (-8;-10;13).
3.29	a =(5;7;-2);	b =(-3;1;3);	c =(1;-4;6);	d= (14;9;-1).
3.30	a =(-1;4;3);	b =(3;2;-4);	c =(-2;-7;1);	d= (6;20;-3).

Завдання №4

Дано вектори a, b, і c.

Необхідно:

а) обчислити змішаний добуток трьох векторів;

б) знайти модуль векторного добутку;

в) обчислити скалярний добуток трьох векторів;

г) перевірити чи будуть коллинеарні або ортогональні два вектори;

д) перевірити чи будуть компланарні три вектори.

4.1	a= 2i-3j+ k, b= j + 4k, c= 5i+ 2j- 3k, а) a, 3b, c; б) 3a, 2c; в) b, -4c; г) a, c; д) a, 2b, 3c.
4.2	a= 3i+ 4j+ k, b= i -2j + 7k, c= 3i- 6j+21k; а) 5a, 2b, c; б) 4b, 2c; в) a, c; г) b, c; д) 2a, -3b, c.
4.3	a= 2i- 4j -2k, b= 7i +3j, c= 3i + 5j -7k; а) a, 2b, 3c; б) 3a, -7b; в) c,-2a; г) a, c; д) 3a, 2b, 3c.
4.4	a= -7i+ 2k, b= 2i -6j + 4k, c= i- 3j+2k; а) a, -2b, -7c; б) 4b, 3c; в) 2a, -7c; г) b, c; д) 2a, 4b, 3c.
4.5	a= -4i+ 2j - k, b= 3i +5j - 2k, c= j+5k; а) a, 6b, 3c; б) 2b, a; в) a, -4c; г) a, b; д) a, 6b, 3c.
4.6	a= 3i - 2j+ k, b= 2i -3k, c= -3i +2j - k; а) a, -3b,2c; б) 5a, 3c; в) -2a, 4b; г) a, c; д) 5a, 4b, 3c.
4.7	a= 4i - j+ 3k, b= 2i +3j - 5k, c= 7i + 2j+ 4k; а) 7a, -4b, 2c; б) 3a, 5c; в) 2b, 4c; г) b, c; д) 7a, 2b, 5c.
4.8	a= 4i+ 2j - 3k, b= 2i + k, c= -12i- 6j+ 9k; а) 2a, 3b, c; б) 4a, 3b; в) b, -4c; г) a, c; д) 2a, 3b, -4c.
4.9	a= -i+ 5k, b= -3i +2j + 2k, c= -2i- 4j+ k; а) 3a, -4b, 2c; б) 7a, -3c; в) 2b, 3a; г) b, c; д) 7a, 2b, -3c.
4.10	a= 6i - 4j+ 6k, b= 9i -6j + 9k, c= i- 8k; а) 2a, -4b, 3c; б) 3b, -9c; в) 3a, -5c; г) a, b; д) 3a, -4b, -9c.
4.11	a= 5i - 3j+ 4k, b= 2i -4j - 2k, c= 3i + 5j -7k; а) a, -4b, 2c; б) -2b, 4c; в) -3a, 6c; г) b, c; д) a, - 2b, 6c.
4.12	a= -4i + 3j - 7k, b= 4i +6j - 2k, c= 6i +9j - 3k; а) -2a, b, -2c; б) 4b, 7c; в) 5a, -3b; г) b, c; д) -2a, 4b, 7c.
4.13	a= -5i + 2j - 2k, b= 7i -5k, c= 2i + 3j -2k; а) 2a, 4b, -5c; б) -3b, 11c; в) 8a, -6c; г) a, c; д) 8a, - 3b, 11c.
4.14	a= -4i - 6j+ 2k, b= 2i +3j - k, c= -i + 5j -3k; а) 5a, 7b,2c б) -4b, 11a; в) 3a, -7c г) a, b; д) 3a, 7b, -2c.
4.15	a= -4i + 2j - 3k, b= -3j + 5k, c= 6i + 6j -4k; а) 5a, -b,3c; б) -7a, 4c; в) 3a, 9b; г) a, c; д) 3a, -9b, 4c.
4.16	a= -3i + 8j, b= 2i +3j -2k, c= 8i + 12j -8k; а) 4a, -6b,5c; б) -7a, 9c; в) 3b, -8c; г) b, c; д) 4a, -6b, 9c.
4.17	a= 2i - 4j -2k, b= -9i +2k, c= 3i + 5j - 7k; а) 7a, 5b, -c; б) -5a, 4b; в) 3b, -8c; г) a, c; д) 7a, 5b, -c.
4.18	a= 9i - 3j + k, b= 3i -15j + 21, c= i - 5j +7k; а) 2a, -7b, 3c; б) -6a, 4c; в) 5b, 7a; г) b, c; д) 2a, -7b, 4c.
	4.19	a= -2i + 4j -3k, b= 5i + j -2k, c= 7i + 4j - k; а) -6b, 2c; б) -8b, 5c; в) -9a, 7c; г) a, b; д) a, -6b, 5c.
	4.20	a= -9i + 4j-5k, b= i -2j +4k, c= -5i + 10j -20k; а) -2a, 7b,5c; б) -6b, 7c; в) 9a, 4c; г) b, c; д) -2a, 7b, 4c.
	4.21	a= 2i - 7j + 5k, b= -i +2j -6k, c= 3i + 2j -4k; а) -3a, 6b,-c; б) 5b, 3c; в) 7a,-4b; г) b, c; д) 7a, -4b, 3c.
	4.22	a= 7i - 4j - 5k, b= i -11j +3k, c= 5i + 5j +3k; а) 3a, -7b,2c; б) 2b, 6c; в) -4a,-5c; г) a, c; д) -4a, 2b, 6c.
	4.23	a= 4i - 6j - 2k, b= -2i +3j + k, c= 3i - 5j + 7k; а) 6a, 3b, 8c; б) -7b, 6a; в) -5a,4c; г) a, b; д) -5a, 3b, 4c.
	4.24	a= 3i - j + 2k, b= -i +5j -4k, c= 6i - 2j +4k; а) 4a, -7b,-2c; б) 6a, -4c; в) -2a,5b; г) a, c; д) 6a, -7b, -2c.
	4.25	a= -3i - j - 5k, b= 2i -4j +8k, c= 3i + 7j - k; а) 2a, -b,3c; б) –9a, 4c; в) 5b,-6c; г) b, c; д) 2a, 5b, -6c.
	4.26	a= -3i + 2j + 7k, b= i -5k, c= 6i + 4j - k; а) -2a, b,7c; б) 5a, -2c; в) 3b,c; г) a, c д) -2a, 3b, 7c.
	4.27	a= 3i - j + 5k, b= 2i -4j -6k, c= i - 2j +3k; а) -3a, 4b,-5c; б) 6b, -3c; в) a,4c; г) b, c; д) -3a, 4b, -5c.
	4.28	a= 4i - 5j - 4k, b= 5i - j - k, c= 2i + 4j -3k; а) a, 7b,-2c; б) -5a, 4b; в) 8c,-3a; г) a, c; д) -3a, 4b, 8c.
	4.29	a= -9i+ 4k, b= 2i -4j +6k, c= 3i - 6j +9k; а) 3a, -5b,-4c; б) 6b, 2c; в) -2a,8c; г) b, c; д) 3a, 6b, -4c.
	4.30	a= 5i - 6j - 4k, b= 4i +8j -7k, c= 3j -4k; а) 5a, 3b,-4c; б) 4b, a; в) 7a,-2c; г) a, b; д) 5a, 4b, -2c.

Завдання №5

Сила F прикладена до точки A.

Обчислити:

а) роботу сили F у випадку, коли точка її прикладення, рухаючись прямолінійно, переміщується в точку B;

б) модуль моменту сили F відносно точки B.

5.1	F(5;-3;9);	A (3;4;-6);	B (2;6;5).
5.2	F(-3;1;-9);	A (6;-3;5);	B (9;5;-7).
5.3	F(2;19;-4);	A (5;3;4);	B (6;-4;-1).
5.4	F(-4;5;-7);	A (4;-2;3);	B (7;0;-3).
5.5	F(4;11;-6);	A (3;5;1);	B (4;-2;-3).
5.6	F(3;-5;7);	A (2;3;-5);	B (0;4;3).
5.7	F(5;4;11);	A (6;1;-5);	B (4;2;-6).
5.8	F(-9;5;7);	A (1;6;-3);	B (4;-3;5).
5.9	F(6;5;-7);	A (7;-6;4);	B (4;9;-6).
5.10	F(-5;4;4;);	A (3;7;-5);	B (2;-4;1).
5.11	F(4;7;-3);	A (5;-4;2);	B (8;5;-4).
5.12	F(2;2;9);	A (4;2;-3);	B (2;4;0).

Дано три сили P, Q, R, прикладені до точки A. Обчислити:

а) роботу, зроблену рівнодіючої цих сил, коли точка її прикладання, рухаючись прямолінійно, переміщується в точку B;

б) величину моменту рівнодіючої цих сил відносно точки B.

5.13	P (9;-3;4); A (-5;4;-2);	Q(5;6;-2); B (4;6;-5).	R(-4;2;7);
5.14	P (5;-2;3); A (7;1;-5);	Q(4;5;-3); B (2;-3;-6).	R(-1;-3;6);
5.15	P (3;-5;4); A (-3;5;9);	Q(5;6;-3); B (5;6;-3).	R(-7;-1;8);
5.16	P (-10;6;5); A (4;-5;9);	Q(4;-9;7); B (4;7;-5).	R(5;3;-3);
5.17	P (5;-3;1); A (-5;3;7);	Q(4;2;-6); B (3;8;-5).	R(-5;-3;7);
5.18	P (-5;8;4); A (2;-4;7);	Q(6;-7;3); B (0;7;4).	R(3;1;-5);
5.19	P (7;-5;2); A (-3;2;0);	Q(3;4;-8); B (6;4;-3).	R(-2;-4;3);
5.20	P (3;-4;2); A (5;3;-7);	Q(2;3;-5); B (4;-1;-4).	R(-3;-2;4);
5.21	P (4;-2;-5); A (-3;2;-6);	Q(5;1;-3); B (4;5;-3).	R(-6;2;5);
5.22	P (7;3;-4); A (-7;2;5);	Q(9;-4;2); B (4;-2;11).	R(-6;1;4);
5.23	P (9;-4;4); A (5;-4;3);	Q(-4;6;-3); B (4;-5;9).	R(3;4;2);
5.24	P (6;-4;5); A (-5;-4;2);	Q(-4;7;8); B (7;-3;6).	R(5;1;-3);
5.25	P (5;5;-6); A (-9;4;7);	Q(7;-6;6); B (8;-1;7).	R(-4;3;4);
5.26	P (7;-6;2); A (3;-6;1);	Q(-6;2;-1); B (6;-2;7).	R(1;6;4);
5.27	P (4;-2;3); A (-3;-2;5);	Q(-2;5;6); B (9;-5;-4).	R(7;3;-1);
5.28.	P (7;3;-4); A (-5;0;4);	Q(3;-2;2); B (4;-3;5).	R(-5;4;3);
5.29	P (3;-2;4); A (1;-4;3);	Q(-4;4;-3); B (4;0;-2).	R(3;4;2);
5.30	P (2;-1;-3); A (-1;4;-2);	Q(3;2;-1); B (2;3;-1).	R(-4;1;3);

Завдання №6

Дано чотири точки А₁ (x₁, y₁), А₂ (x₂, y₂),

А₃ (x₃, y₃), А₄ (x₄, y₄).

Скласти рівняння:

а) площини А₁ А₂ А_3;

б)прямої А₁ А₂;

в) прямої А₄М, перпендикулярної до площини А₁ А₂ А₃;

г) прямої А₃N, паралельної до прямої А₁ А₂;

д) площини, яка проходить через точку А₄, перпендикулярно до прямої А₁ А_2.

Обчислити:

е) синус кута між прямою А₁ А₄ та площиною А₁ А₂ А₃;

ж) косинус кута між координатною площиною Оху та площиною А₁ А₂ А_3.

6.1	А1 (3; 1; 4); А2 (-1; 6; 1); А3 (-1; 1; 6); А4 (0; 4; -1).
6.2	А1 (3; -1; 2); А2 (-1; 0; 1); А3 (1; 7; 3); А4 (8; 5; 8).
6.3	А1 (3; 5; 4); А2 (5; 8; 3); А3 (1; 2; -2); А4 (-1; 0; 2).
6.4	А1 (2; 4; 3); А2 (1; 1; 5); А3 (4; 9; 3); А4 (3; 6; 7).
6.5	А1 (9; 5; 5); А2 (-3; 7; 1); А3 (5; 7; 8); А4 (6; 9; 2).
6.6	А1 (0; 7; 1); А2 (2; -1; 5); А3 (1; 6; 3); А4 (3; -9; 8).
6.7	А1 (5; 5; 4); А2 (1; -1; 4); А3 (3; 5; 1); А4 (5; 8; -1).
6.8	А1 (6; 1; 1); А2 (4; 6; 6); А3 (4; 2; 0); А4 (1; 2; 6).
6.9	А1 (7; 5; 3); А2 (9; 4; 4); А3 (4; 5; 7); А4 (7; 9; 6).
6.10	А1 (6; 8; 2); А2 (5; 4; 7); А3 (2; 4; 7); А4 (7; 3; 7).
6.11	А1 (4; 2; 5); А2 (0; 7; 1); А3 (0;2;7); А4 (1; 5; 0).
6.12	А1 (4; 4; 10); А2 (7; 10; 2); А3 (2; 8; 4); А4 (9; 6; 9).
6.13	А1 (4; 6; 5); А2 (6; 9; 4); А3 (2; 10; 10); А4 (7; 5; 9).
6.14	А1 (3; 5; 4); А2 (8; 7; 4); А3 (5; 10; 4); А4 (4; 7; 8).
6.15	А1 (10; 9; 6); А2 (2; 8; 2); А3 (9; 8; 9); А4 (7; 10; 3).
6.16	А1 (1; 8; 2); А2 (5; 2; 6); А3 (5; 7; 4); А4 (4; 10; 9).
6.17	А1 (6; 6; 5); А2 (4; 9; 5); А3 (4; 6; 11); А4 (6; 9; 3).
6.18	А1 (7; 2; 2); А2 (-5; 7; -7); А3 (5; -3; 1); А4 (2; 3; 7).
6.19	А1 (8; -6; 4); А2 (10; 5; -5); А3 (5; 6; -8); А4 (8; 10; 7).
6.20	А1 (1; -1;3) А2 (6; 5; 8); А3 (3; 5; 8); А4 (8; 4; 1);
6.21	А1 (1; -2; 7); А2 (4; 2; 10); А3 (2; 3; 5); А4 (5; 3; 7).
6.22	А1 (4; 2; 10); А2 (1; 2; 0); А3 (3; 5; 7); А4 (2; -3; 5).
6.23	А1 (2; 3; 5); А2 (5; 3; -7); А3 (1; 2; 7); А4 (4; 2; 0).
6.24	А1 (5; 3; 7); А2 (-2; 3; 5); А3 (4; 2; 10); А4 (1; 2; 7).
6.25	А1 (4; 3; 5); А2 (1; 9; 7); А3 (0; 2; 0); А4 (5; 3; 10).
6.26	А1 (3; 2; 5); А2 (4; 0; 6); А3 (2; 6; 5); А4 (6; 4; -1).
6.27	А1 (2; 1; 6); А2 (1; 4; 9); А3 (2; -5; 8); А4 (5; 4; 2).
6.28	А1 (2; 1; 7); А2 (3; 3; 6); А3 (2; -3; 9); А4 (1; 2; 5).
6.29	А1 (2; -1; 7); А2 (6; 3; 1); А3 (3; 2; 8); А4 (2; -3; 7).
6.30	А1 (0; 4; 5); А2 (3; -2; 1); А3 (4; 5; 6); А4 (3; 3; 2).

Завдання №7

Вершини піраміди перебувають у точках A, B, C і D. Обчислити:

а) площу зазначеної грані;

б) площу перерізу, який проходить через середину ребра l і дві вершини піраміди;

в) об‘єм піраміди ABCD.

7.1	A (4;3;5); B (1;2;1);	C (-2;-3;6); D (3;-6;-3);
	а) ACD; б) l = AB; C і D.
7.2	A (-7;-5;6); B (-2;5;-3);	C (3;-2;4); D (1;2;2);
	а) BCD; б) l = CD; A і B.
7.3	A (1;3;1); B (-1;4;6);	C (-2;-3;4); D (3;4;-4);
	а) ACD; б) l = BC; A і D.
7.4	A (2;4;1); B (-3;-2;4);	C (3;5;-2); D (4;2;-3);
	а) ABD; б) l = AC; B і D.
7.5	A (-5;-3;-4); B (1;4;6);	C (3;2;-2); D (8;-2;4);
	а) ACD; б) l = BC; A і D.
7.6	A (3;4;2); B (-2;3;-5);	C (4;-3;6); D (6;-5;3);
	а) ABD; б) l = BD; A і C.
7.7	A (-4;6;3); B (3;-5;1);	C (2;6;-4); D (2;4;-5);
	а) ACD; б) l = AD; B і C.
7.8	A (7;5;8); B (-4;-5;3);	C (2;-3;5); D (5;1;-4);
	а) BCD; б) l = BC; A і D.
7.9	A (3;-2;6); B (-6;-2;3);	C (1;1;-4); D (4;6;-7);
	а) ABD; б) l = BD; A і C.
7.10	A (-5;-4;-3); B (7;3;-1);	C (6;-2;0); D (3;2;-7);
	а) BCD; б) l = AD; B і C.
7.11	A (3;-5;-2); B (-4;2;3);	C (1;5;7); D (-2;-4;5);
	а) ACD; б) l = BD; A і C.
7.12	A (7;4;9); B (1;-2;-3);	C (-5;-3;0); D (1;-3;4);
	а) ABD; б) l = AB; C і D.
7.13	A (-4;-7;-3); B (-4;-5;7);	C (2;-3;3); D (3;2;1);
	а) BCD; б) l = BC; A і D.
7.14	A (-4;-5;-3); B (3;1;2);	C (5;7;-6); D (6;-1;5);
	а) ACD; б) l = BC; A і D.
7.15	A (5;2;4); B (-3;5;-7);	C (1;-5;8); D (9;-3;5);
	а) ABD; б) l = BD; A і C.
7.16	A (-6;4;5); B (5;-7;3);	C (4;2;-8); D (2;8;-3);
	а) ACD; б) l = AD; B і C.
7.17	A (5;3;6); B (-3;-4;4;);	C (5;-6;8); D (4;0;-3);
	а) BCD; б) l = BC; A і D.
7.18	A (5;-4;4); B (-4;-6;5);	C (3;2;-7); D (6;2;-9);
	а) ABD; б) l = BD; A і C.
7.19	A (-7;-6;-5); B (5;1;-3);	C (8;-4;0); D (3;4;-7);
	а) BCD; б) l = AD; B і C.
7.20	A (7;-1;-2); B (1;7;8);	C (3;7;9); D (-3;-5;2);
	а) ACD; б) l = BD; A і C.
7.21	A (5;2;7); B (7;-6;-9);	C (-7;-6;3); D (1;-5;2);
	а) ABD; б) l = AB; C і D.
7.22	A (-2;-5;-1); B (-6;-7;9);	C (4;-5;1); D (2;1;4);
	а) BCD; б) l = BC; A і D.
7.23	A (-6;-3;-5); B (5;1;7);	C (3;5;-1); D (4;-2;9);
	а) ACD; б) l = BC; A і D.
7.24	A (7;4;2); B (-5;3;-9);	C (1;-5;3); D (7;-9;1);
	а) ABD; б) l = BD; A і C.
7.25	A (-8;2;7); B (3;-5;9);	C (2;4;-6); D (4;6;-5);
	а) ACD; б) l = AD; B і C.
7.26	A (4;3;1); B (2;7;5);	C (-4;-2;4); D (2;-3;-5);
	а) ACD; б) l = AB; C і D.
7.27	A (-9;-7;4); B (-4;3;1);	C (5;-4;2); D (3;4;4);
	а) BCD; б) l = CD; A і B.
7.28	A (3;5;3); B (-3;2;8);	C (-3;-2;6); D (7;8;-2);
	а) ACD; б) l = BD; A і C.
7.29	A (4;2;3); B (-5;-4;2);	C (5;7;-4); D (6;4;-7);
	а) ABD; б) l = AD; B і C.
7.30	A (-4;-2;-3); B (2;5;7);	C (6;3;-1); D (6;-4;1);
	а) ACD; б) l = BC; A і D.

Завдання №8

Перетворити рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду, знайти параметри, які визначають дану лінію та побудувати Ії.

Рішення типового варіанта

Приклад №1

Для даного визначника

=

-3

-2

-1 -1

знайти мінори й алгебраїчні доповнення елементів а₁₂, а₃₂. Обчислити визначник : а) розкладаючи його за елементами першого рядка;

б) розкладаючи його за елементами другого стовпця; в) одержуючи попередньо нулі в першому рядку.

Рішення.

Знаходимо:

М 12 =

-1 -1

= – 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16 = – 8

М 32 =

-3

-1

= – 12 + 12 – 12 – 8 = – 20

Алгебраїчні доповнення елементів а₁₂ і а₃₂ відповідно дорівнюють:

А₁₂ = (– 1)¹⁺² М ₁₂ = – (– 18)

А₃₂ = (– 1)³⁺² М ₃₂ = – (– 20) == 18 20

а) Обчислимо

₌ а ₁₁А₁₁ + а ₁₂А₁₂ + а ₁₃А₁₃ + а ₁₄А₁₄ =

= – 3

-2

-1 -1

–2

-1 -1

+1

-2

=

= - 3(8 + 2 + 4 - 4) - 2(- 8 - 16 + 6 + 12 + 4 - 16) + (16 - 12 - 4 + 32) = 38.

б) Розкладемо визначник за елементами другого стовпця:

= – 2

-1 -1

–2

-3

-1 -1

+1

-3

-1

=

= - 2(- 8 + 6 - 16 + 12 + 4 - 16) - 2(12 + 6 - 6 - 16) + (- 6 + 16 - 12 - 4) =

в) Обчислимо , одержуючи попередньо нулі в першому рядку. Використаємо властивості визначників. Помножимо третій стовпець визначника на 3 і додамо до першого стовпця, потім помножимо на (- 2) і додамо до другого. Тоді в першому рядку всі елементи, крім одного, будуть нулями. Розкладемо отриманий у такий спосіб визначник за елементами першого рядка й обчислимо його:

=	-3	-2	-1 -1		=		-4	-1 -1		=
=		-4		=		-14	-6	=

= - (- 56 + 18) = 38

У визначнику третього порядку одержали нулі в першому стовпці за властивістю визначників.

Приклад №2

1, Дана система лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь

Перевірити чи спільна ця система, і у випадку спільності розв‘язати її: а) за формулами Крамера; б) за допомогою оберненої матриці (матричним способом); в) методом Гауса.

Рішення.

Спільність даної системи перевіримо за теоремою Кронекера-Капеллі. За допомогою елементарних перетворень знайдемо ранг матриці

А =

-1

-1 -3 -3

даної системи й ранг розширеної матриці

В =

-1

-1 -3 -3

-7

Для цього помножимо перший рядок матриці В на (-2) і додамо до другого, потім помножимо перший рядок на (-3) і додамо до третього, поміняємо місцями другий і третій стовпці. Одержимо

---

---

В

~

-2 -16

-1 -1

-4 -16