Основні означення
Означення. Числовою матрицею розмірності mxn називається прямокутна таблиця із mn чисел, розташованих у m рядках і n стовпцях.
Матрицю позначають так:
A=() (i=1…m, j=1…n)
Числа, з яких складена матриця, називаються елементами матриці.
Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакові розміри й елементи однієї матриці дорівнюють відповідним елементам другої матриці
, якщо
Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовою, позначається 0.
Матриця, у якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців, називається квадратною.
(i=1…m, j=1…m) .
У квадратній матриці елементи складають головну діагональ, а елементи – допоміжну діагональ.
Квадратна матриця, у якої всі елементи, що розміщені не на головній діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною.
Діагональна матриця, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, називається одиничною.
Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, розміщені по один бік (або нижче, або вище) від головної діагоналі, дорівнюють нулю.
|
|
Квадратна матриця А= називається симетричною, якщо .
Приклад симетричної матриці .
Дії над матрицями
Означення. Сумою двох матриць
і
називається матриця
елементи якої є сумою відповідних елементів матриць A і B, тобто
.
Сумою трьох і більшої кількості матриць є матриця, яку здобувають послідовним додаванням цих матриць.
Зауваження. Операцію додавання матриць можна виконувати тільки для матриць однакових розмірів.
Приклад
Знайти матрицю C=A+B
; ;
.
Означення. Добутком матриці A на число називається матриця B, елементи якої дорівнюють добутку відповідних елементів матриці A на число , тобто
.
Приклад.
Знайти B=3A
B=3A =3 = .
Означення. Різницею матриць A–B є матриця, яку знаходять таким чином:
A–B=A+(–B)
Властивості лінійних операцій над матрицями:
1. A+B=B+A
2. (A+B) +C=A+ (B+C)
3. A +0=0+ А=A
4. A +(–A) = 0
5. 1∙ A=A
6.
7. ∙(A+B)=∙A+∙B
8.
.
Означення. Матриця A називається узгодженою з матрицею B, якщо кількість стовпців матриці A дорівнює кількості рядків матриці B, тобто
а .
Множити матрицю A на матрицю B можна тільки в тому разі, коли матриця A є узгодженою з матрицею B.
Означення. Добутком матриці на матрицю називається матриця така, що
.
Із означення випливає, що елемент матриці C, який стоїть на перетині i -го рядка та k -го стовпця, дорівнює сумі добутків елементів i -го рядка матриці A на відповідні елементи k -го стовпця матриці B.
Приклад.
Знайти C=A∙B, якщо
Матриці A і B узгоджені, так як , а . У результаті отримаємо
Таким чином, .
Властивості добутку матриць:
|
|
1. A∙E=E∙A=A, Е – одинична матриця.
2. A∙0=0∙A=0, 0 – нульова матриця.
3. (A∙B)∙C=A∙(B∙C)
4. (A∙B)=(∙A)∙B=A(∙B)
5. (A+B)∙C=A∙C+B∙C
6. C∙(A+B)=C∙A+C∙B.
=const.
Означення. Матриця, яку дістають із даної, замінюючи кожний її рядок стовпцем із тим самим номером, називається матрицею, транспонованою до даної і
позначається , тобто
Операція знаходження матриці, транспонованої до даної, називається транспонуванням матриці.
Приклад.
Знайти , якщо , .
.
Властивості транспонування матриць:
1.
2. =const
3.
4.