Розділ ІІ. Похідна функції. Механічний та геометричний зміст похідної

Похідною функції у=f(х) в точці х₀ називається границя відношення приросту Δу функції до приросту Δх аргументу за умови, що приріст Δх аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

.

Механічний зміст похідної: миттєва швидкість нерівномірного руху є похідною від шляху по часу s=f(t), тобто v=s’=f’(t).

Геометричний зміст похідної: похідна f´ (х₀) дорівнює кутовому коефіцієнту k=tg α дотичної до кривої, проведеної в точці М₀(х₀, у₀).

Функція у=f(х) в точці х₀ називається диференційовною, якщо в цій точці вона має похідну f´ (х₀).

Якщо функція у=f(х) є диференційованою в кожній точці деякого інтервалу (а;b), то вона називається диференційовною в цьому інтервалі.

Теорема. Якщо функція у=f(х) в точці х₀ є диференційованою, то вона в цій точці неперервна.

Якщо в кожній точці інтервалу (а;b) f ^'(x)>0, то функція f (x) зростає на цьому інтервалі, а якщо – f ^'(x)<0, то функція f (x) спадає на інтервалі (а;b).

Функція f (x) є сталою на інтервалі (а;b) тоді і тільки тоді, коли f ^'(x)=0 в усіх точках цього інтервалу.

Точка х ₀ÎD_f називається точкою максимуму [ точкою мінімуму ], якщо знайдеться δ-окіл точки х ₀ такий, що для всіх х з проколотого δ-околу виконується нерівність f (x)< f (x₀), [ f (x)> f (x₀)]. Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму. Значення функції в точках максимуму і мінімуму називаються екстремумами (максимумом і мінімумом) функції.

У точках екстремуму похідна функції f ^'(x)=0 або не існує, але не в кожній точці х ₀ , де f ^'(x₀)=0 або f ^'(x₀) не існує, буде екстремум.

Якщо функція f (x) неперервна в точці х ₀ і похідна f ^'(x) змінює знак з „+” на „–” при переході через точку х ₀ , то х ₀ – точка екстремуму (точка максимуму)функції f (x), якщо ж f ^'(x) змінює знак з „–” на „+” при переході через точку х ₀ , то х ₀ – точка екстремуму (точка мінімуму)функції f (x).

Індивідуальні завдання для самостійної роботи

Варіант №1

1. Знайти область визначення функції

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Після того, як від числа спочатку відняли 10%, потім 25 % залишку і ще 20 % нового залишку, дістали число 27. Знайти початкове число.

Варіант №2

1. Знайти область визначення функції

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Пшениці зібрали у кількості 40% від зібраного жита, а жита – 23,4 т більше, ніж пшениці. Кількості зібраного жита і вівса за масою відносяться як 1: . Скільки зібрано окремо кожної культури?

Варіант №3

1. Знайти область визначення функції

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Взуттєва фабрика за перший тиждень виконала 20% місячного плану, за другий – випустила 120% продукції, виробленої за перший тиждень. За третій тиждень – 60 % продукції, виробленої за перші два тижні разом. Який місячний план випуску взуття, якщо відомо, що для його виконання необхідно за останній тиждень місяця виготовити 1480 пар?

Варіант № 4

1. Знайти область визначення функції

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Перше з невідомих чисел становить 140 % другого, перше до третього відноситься як 14:11. Знайти ці числа, якщо різниця між першим і другим числами на 40 одиниць менша числа, яке дорівнює 12,5 % суми першого та другого чисел.

Варіант № 5

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Площі трьох ділянок землі відносяться як : : . З першої ділянки врожаю на 72 ц більше, ніж з другої. Знайти площі трьох ділянок, якщо середня врожайність вирощувальної культури становить 18 ц/га.

Варіант № 6

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Скільки води треба долити до 7,5 л 12 %-го розчину азотної кислоти, щоб одержати 10%-й розчин?

Варіант № 7

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Свіжі гриби містять 90 % води, а сухі – 12 %. Скільки вийде сухих грибів з 22 кг свіжих?

Варіант № 8

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Ціну на товар вперше знизили на 15 %, потім ще на 10 %. На скільки процентів всього знизили ціну на товар?

Варіант № 9

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Початкова собівартість продукції знизилась першого разу на 8%, другого не 5 %, третього на 10 %. На скільки процентів знизилась початкова собівартість продукції?

Варіант № 10

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *На скільки процентів треба збільшити довжину радіуса кола, щоб площа кола збільшилася на 96 %?

Варіант № 11

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Від числа відняли 30 % його величини, потім 20 % решти і 25 % остачі. Скільки відсотків від числа відняли за три рази?

Варіант № 12

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Видобуте вугілля містить 2 % води. Через деякий час масова частка води становитиме 15 %. На скільки тонн збільшиться маса 15 т видобутого вугілля за той самий час?

Варіант № 13

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Шматок сплаву міді з оловом масою 12 кг містить 45 % міді. Скільки чистого олива треба додати до цього сплаву, щоб приготувати новий сплав, який містить 40 % міді?

Варіант № 14

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Вісім електровозів спроможні замінити 18 паровозів. Скільки їх потрібно для ділянки залізниці, яку обслуговують 54 паровози?

Варіант № 15

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *На скільки процентів збільшиться об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо його довжину і ширину збільшити на 10 %, а висоту зменшити на 10%?

Варіант № 16

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Площі трьох ділянок відносяться як 0,6: 5/6: 8/15, причому площа першої ділянки на 120 га більша за площу третьої. Пшеницею було засіяно 72 % площі другої ділянки та 40 % площі третьої. Яку площу засіяно пшеницею?

Варіант № 17

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *На скільки відсотків треба збільшити радіус кола, щоб його площа збільшилась на 96 %?

Варіант № 18

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *У посудині міститься 10,5 л 40 %-го розчину сірчаної кислоти. Скільки треба долити 70 %-го розчину тієї самої кислоти, щоб дістати 60 %-й розчин?

Варіант № 19

1. Знайти область визначення функції .

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Чи змінюється число і як, якщо його спочатку збільшити на 15%, а потім знайдене число зменшити на 15 %?

Варіант №20

1. Знайти область визначення функції

2. Скласти рівняння дотичної до кривої у точці з абсцисою х=1 і проілюструвати розв’язок.

3. Дослідити функцію на екстремум та проілюструвати розв’язок графічно.

4. *Змішати 30 і 10 %-й розчини соляної кислоти, дістали 600г 15%-го розчину. Скільки грамів кожного розчину було взято?

АЛГЕБРА