Розділ ІV. Елементи математичної статистики

Множина всіх об’єктів, які підлягають дослідженню, називається генеральною сукупністю, а підмножина випадково вибраних об’єктів з генеральної сукупності називається вибірковою сукупністю або просто вибіркою.

Число об’єктів генеральної сукупності називається її обсягом, а число об’єктів вибіркової сукупності називається обсягом вибірки.

Якщо ознаки об’єктів, які вивчаються, є числа (вони називаються варіантами), то вибіркою обсягом n буде сукупність з n чисел. Розташуємо ці числа у неспадному порядку і позначимо їх буквою x з відповідними індексами, так що x ₁ ≤ x ₂ ≤ … ≤ x_n. Ця послідовність чисел називається варіаційним рядом. Значення варіант можуть повторюватися. Нехай x ₁спостерігалося n ₁разів, x ₂ – n ₂разів і т.д., значення x_k – n_k разів, при цьому n ₁ + n ₂ +... + n_k= n. Числа n ₁, n ₂ ,... n_k називаються відносними частотами.

Відповідність між варіантами та їх частотами, подану у вигляді таблиці 5.2. називають статистичним рядом.

Таблиця 5.2.

Варіанти (xi)	x 1	x 2	…	xk
Частоти (ni)	n 1	n 2	…	nk

Якщо на координатній площі побудувати точки (x_i, n_i) і сполучити їх ламаною, то дістанемо полігон частот.

Приклад 1. У 1995 році кожного тижня (починаючи з першого тижня січня) в м. Кіровограді було зареєстровано таку кількість новонароджених (дані округлені до десятків тому умовні): 60, 50, 60, 50, 40, 50, 50, 70, 40, 30, 20, 60, 50, 30, 50, 60, 50, 50, 50, 50, 60, 30, 60, 40, 40, 60, 40, 40, 40, 30, 50, 50, 40, 30, 30, 60, 70, 50, 40, 40, 30, 60, 50, 60, 40, 40, 40, 40, 50, 50, 40, 40.

В даному випадку обсяг вибірки дорівнює 52, варіаційний ряд такий: 20, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 40,40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 60, 70, 70.

Статистичний ряд у такому випадку має вигляд:

Таблиця 5.3.

Число зареєстрованих
Частоти

Побудуємо полігон частот:

Мал. 5.1.

Середнє арифметичне значення вибірки визначається за формулою:

,

де x_i – варіанти, а n – обсяг вибірки.

Якщо складено статистичний ряд, то для знаходження середнього значення використовують таку формулу:

,

де x_i – варіанти, а n – обсяг вибірки, n_i відповідні частоти, m – кількість різних варіантів. Так знайдене середнє називається середнім зваженим, при цьому вагами служать частоти.

Модою вибірки називається те значення вибірки, яке має найбільшу частоту. Таких значень може бути декілька.

Наприклад, для вибірки з прикладу 1 існують дві моди M_о1=40, M_о2=50.

Медіаною вибірки називається значення серединного елемента статистичного ряду. Якщо обсяг вибірки число непарне, то медіана дійсно значення серединного елемента, а якщо парне, то – середнє арифметичне двох серединних елементів.

Індивідуальні завдання для самостійної роботи

Варіант 1

1. В лотереї з 50 квитків 8 виграшних. Яка ймовірність того, що серед 5 навмання придбаних квитків два будуть виграшними?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.1	1.3	1.5	1.7	1.9
Р	0.2	0.3	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <2, 4, 3, 2, 3, 5, 2, 4, 4, 3>. Знайти моду і медіану.

Варіант 2

1. З 6 однакових карток розрізної азбуки: „а”, „е”, „м”, „н”, „о”, „р” навмання вибирають 4 картки й складають їх в ряд по рядку, яка ймовірність отримати при цьому слово „море”?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
Р	0.3	0.1	0.2	0.3	0.1

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <6, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 6, 1, 6>. Знайти моду і медіану.

Варіант 3

1. У ящику 36 деталей, 9 з них – браковані. Обчислити ймовірність того, що серед 7 взятих навмання деталей 3 буде бракованих.

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.5	1.7	1.9	2.1	2.3
Р	0.3	0.2	0.1	0.2	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <5, 1, 3, 2, 5, 1, 2, 4, 1, 5>. Знайти моду і медіану.

Варіант 4

1. На 6 однакових картках написано букви: „а”, „в”, „к”, „м”, „о”, „с”. Картки зміщують і розкладають навмання в ряд. Яка ймовірність того, що отрималося слово ”Москва”?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.4	1.6	1.8	2.0	2.2
Р	0.1	0.3	0.1	0.1	0.4

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <3, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 2>. Знайти моду і медіану.

Варіант 5

1. З 10 квитків лотереї виграшними є два. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 5-ти білетів два виграшні?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.5	1.6	1.8	1.9	2.1
Р	0.2	0.4	0.1	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <4, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 4>. Знайти моду і медіану.

Варіант 6

1. З нового набору доміно навмання витягують одну кісточку. Яка ймовірність того, що число вічок на ній парне?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.6	1.7	1.9	2.2	2.3
Р	0.1	0.4	0.1	0.2	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 4, 1, 4>. Знайти моду і медіану.

Варіант 7

1. З 60 екзаменаційних питань учень підготував 50. На екзамені він повинен відповісти на два питання. Яка ймовірність того, що учень відповість на обидва питання?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.8	2.1	2.3	2.4	2.6
Р	0.2	0.2	0.1	0.1	0.4

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <2, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 4, 1, 3>. Знайти моду і медіану.

Варіант 8

1. Із корзини, що містить 5 кульок, які помічені цифрами 1, 2, 3, 4, 5, витягають навмання всі кульки одну за одною. Яка ймовірність того, що номера витягнутих кульок йдуть у порядку зростання?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.9	2.1	2.2	2.3	2.5
Р	0.2	0.3	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 4, 1, 3>. Знайти моду і медіану

Варіант 9

1. У корзині 6 білих і 9 чорних кульок. З корзини виймають одночасно дві кульки. Яка ймовірність того, що обидві кульки виявляться чорними?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	1.9	2.0	2.3	2.4	2.6
Р	0.3	0.3	0.1	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <2, 1, 6, 2, 1, 1, 2, 6, 6, 3>. Знайти моду і медіану.

Варіант 10

1. У партії з 8 деталей є 6 стандартних. Яка ймовірність того, що серед п’яти взятих навмання деталей три стандартні?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	2.1	2.2	2.3	2.5	2.7
Р	0.2	0.2	0.2	0.3	0.1

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <5, 4, 3, 2, 3, 5, 2, 4, 4, 5>. Знайти моду і медіану.

Варіант 11

1. Достатньою умовою здачі колоквіуму є відповідь на одне з двох заданих запитань. Студент не знає вісім питань із тих сорока, які пропонуються. Яка ймовірність здачі колоквіуму?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	0.3	0.5	0.6	0.8	0.9
Р	0.3	0.2	0.2	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <2, 4, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 4, 1>. Знайти моду і медіану

Варіант 12

1. Яка ймовірність вгадати 4 номери у лотереї „Спортлото” 6 із 49?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	0.4	0.5	0.7	0.8	1.1
Р	0.4	0.1	0.1	0.3	0.1

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <3, 4, 4, 2, 3, 4, 2, 4, 4, 2>. Знайти моду і медіану.

Варіант 13

1. У пакунку є 10 цукерок “Кара-кум” та 5 “Південна ніч”. Навмання беруть 6 цукерок. Яка ймовірність того, що серед них виявиться дві “Кара-кум”?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	0.6	0.8	0.9	2.1	2.3
Р	0.2	0.2	0.1	0.2	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <4, 4, 3, 2, 3, 5, 2, 3, 4, 5>. Знайти моду і медіану.

Варіант 14

1. У ящику 50 деталей, 12 з них – браковані. Обчислити ймовірність того, що серед 6 взятих навмання деталей 2 буде бракованих.

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	2.2	2.4	2.6	2.7	3.0
Р	0.2	0.3	0.1	0.2	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <3, 2, 2, 1, 3, 4, 2, 4, 4, 2>. Знайти моду і медіану.

Варіант 15

1. Десять книжок з теорії ймовірностей розставляють на полиці. Яка ймовірність того, що книги двотомника В.Феллера будуть поставлені поряд?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	2.9	3.1	3.2	3.3	3.5
Р	0.2	0.3	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <5, 3, 6, 5, 3, 3, 5, 6, 6, 5>. Знайти моду і медіану.

Варіант 16

1. Бібліотекар отримав 5 книг з синьою обкладинкою і 7 з жовтою. На полицю він навмання поставив 5 книг. Яка ймовірність того, що серед них будуть 2 книги з синьою обкладинкою і 3 з жовтою?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.0	3.1	3.2	3.3	3.7
Р	0.3	0.1	0.3	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <1, 4, 4, 1, 3, 3, 1, 4, 4, 3>. Знайти моду і медіану.

Варіант 17

1. У книжному магазині на полиці лежать 20 книг, причому 10 книг коштують по 20 гривень кожна, 3 книги – по 40 гривень і 7 книг – по 10 гривень. Яка ймовірність того, що випадковим чином вибрані 2 книги коштують 30 грн?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.2	3.3	3.5	3.7	3.9
Р	0.1	0.4	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <5, 1, 6, 5, 1, 1, 5, 6, 6, 3>. Знайти моду і медіану.

Варіант 18

1. Набираючи номер телефону, абонент забув 2 останні цифри і, пам’ятаючи тільки, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібні цифри.

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.3	3.5	3.7	3.8	3.9
Р	0.1	0.4	0.2	0.1	0.2

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <2, 3, 6, 2, 3, 3, 2, 6, 6, 3>. Знайти моду і медіану.

Варіант 19

1. Гусениця трактора складається з 50 ланок. Перед тим, як її збирати, три ланки помітили цифрами „1”, „2”, „3”. Яка ймовірність того, що після ремонту гусениці ці ділянки виявляться поряд, причому нумерація буде розміщена в порядку зростання чисел?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.5	3.6	3.8	3.9	4.1
Р	0.4	0.1	0.1	0.1	0.3

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію D Х, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <4, 3, 6, 4, 3, 3, 4, 6, 6, 3>. Знайти моду і медіану.

Варіант 20

1. На складі є 15 радіодеталей, причому 10 з них виготовлені чернівецьким радіозаводом, а 5 – кіровоградським. Яка ймовірність того, що серед 6 взятих навмання деталей 2 будуть виготовлені чернівецьким радіозаводом, а 3 – кіровоградським?

2. Розподіл дискретної випадкової величини задано таблицею:

Х	3.6	3.7	3.9	4.1	4.2
Р	0.3	0.2	0.1	0.3	0.1

Знайти математичне сподівання МХ, дисперсію DХ, середнє квадратичне відхилення.

3. Побудувати статистичний ряд і полігон частот для вибірки: <1, 3, 6, 1, 3, 3, 1, 6, 6, 3>. Знайти моду і медіану.

Правила диференціювання:

1. ;

2. де ;

3. ;

4. де ;

5. ;

Таблиця похідних

1. де ; ; ;

2. , ;

3. , при ; зокрема, ;

4. ; зокрема, ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

Рівняння дотичної: ;

рівняння нормалі: .

ЛІТЕРАТУРА

1. Волков Ю.І., Войналович Н.М. Елементи дискретної математики: Навчальний посібник. – Кіровоград: РВГ ІЦ КДПУ ім. В.Винниченка, 1999. – 173 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 2003. – 405 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч.ІІ. – М.: Высш. шк.., 1986. – 415 с.

5. Жалдак М.І. Початки теорії ймовірностей. – К.: Рад. шк., 1978. – 143 с

6. Конет І.М. Теорія ймовірностей та математична статистика в прикладах і задачах. – Кам’янець–Подільський: Абетка, 2001. – 220 с.

7. Соколенко О.І. Вища математика: Підручник. – К.: Видавничий центр «Академія», 2002. – 432 с.

8. Шкіль М.І. та ін. Алгебра і початки аналізу: Проб. підруч. для 10-11 кл. серед. шк. / М.І. Шкіль, З.І. Слєпкань, О.С. Дубинчук. – К.: Зодіак-ЕКО, 1995. – 608 с.