Методы решения задачи Коши

Метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти функцию u(t) непрерывную при 0 £ t £ T, удовлетворяющую при t>0 дифференциальному уравнению и начальному условию при t=0

.

(5.1)

Решение задачи (5.1) существует и единственно, если функции f и непрерывны в области D, содержащей точку М₀ (t₀,u₀).

Ставится задача нахождения приближенных значений функции u(t)-y, y₁,...,y_n в точках t₀, t₁,..., t_n соответственно отрезка [0,Т]. Совокупность точек называется сеткой; точки t_i - узлами сетки, t_i = t _i - t _i-1 - шагом сетки.

Одним из простейших методов численного решения задачи Коши (5.1) является метод Эйлера, основанный на использовании разностной схемы Эйлера

.

Разностная схема (5.2) называется явной, т.к. значения находятся последовательно, начиная с y₀=u₀ по явной формуле

В результате получаем приближенные значения функции u(t) в узлах t_i сетки , т.е. сеточную функцию y(t_i) = y_i, i = 0, 1, …, n. Оценим теперь величину аппроксимации разностной схемой Эйлера (5.2) исходной задачи (5.1). Сеточная функция

называется погрешностью разностной схемы.

Подставляя y_i = z_i + u(t_i) из (5.3) в уравнение (5.2), имеем

,

(5.4)

где

L_i = f_u(t_i, u_i + Qz_i), 0 < Q < 1.

Невязка , которую имеет разностная схема (5.2) на решении задачи (5.1), называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (5.2).

Оценим величину y_i. Для этого, разлагая по формуле Тейлора функцию u(t_i+1) в окрестности точки t_i, имеем

.

Учитывая, что u¢(t_i) = f(t_i, u_i), имеем y_i = 0(t) или .

Таким образом, разностная схема (5.2) имеет первый порядок аппроксимации.

Докажем сходимость разностной схемы Эйлера (5.2), т.е. что . Действительно, определяя величину z_i+1 из (5.4) и оценивая ее, имеем

В этом случае разностная схема (5.2) называется сходящейся и имеющей первый порядок точности. Таким образом, метод Эйлера достаточно прост, но обеспечивает низкую точность.

Метод Рунге-Кутта.

Повышение порядка точности осуществляется путем усложнения разностной схемы. На практике широко распространенными являются разностные схемы Рунге-Кутта второго и четвертого порядка точности.