Задание. Дифференцирование функций

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю

Правила:

1.

2.

3.

4. Если y=f(u) и u=q(x) дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(q(x)) существует и равна произведению производной данной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменой x.

.

Следствие: Постоянный множитель выносится за знак производной

Формулы дифференцирования для сложной функции, где u(x) –внутренняя функция

Производной второго порядка или второй производной функции y=f(x) называется производная от ее первой производной функции . Она обозначается

. Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и других порядков

.

Примеры: 1) Найти производную функции

 
  Производная суммы равна сумме производных Воспользуемся формулами из таблицы производных - формулы производных степенной, тригонометрической и логарифмической функций: , .
Ответ.

2) Найти производную функции . По правилу дифференцирования произведения получаем: , теперь воспользуемся формулами для производных степенной и тригонометрической функций: , . Ответ: .

3) Найти производную функции

 
  По свойству дифференцирования частного получаем: Далее пользуясь формулами для производных логарифмической и степенной функции, получим: Для вычисления производной функции использовались правила дифференцирования и таблица производных функций.
Ответ.

4) Правила дифференцирования сложной функции применяются следующим образом:

Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х0

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f / (x0) · (x − x0) + f (x0)

Здесь f / (x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.

Пример:

Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.

Уравнение касательной: y = f / (x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f / (x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;
Теперь найдем производную: f / (x) = (x3) / = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f / (x0) = f / (2) = 3 · 22 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Физический смысл производной:

Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(x), то, чтобы найти скорость тела в момент времени t0, нужно найти значение производной функции S(x) в точке х=t0: S/(t0)=V(t); а чтобы вычислить значение ускорения в момент времени t0, нужно найти значение производной функции V(x) в точке х=t0: V/(t0)=a(t0).

Пример. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t)=6t2-48t+17, где s(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c.

Решение. Найдем производную функции s(t)=6t2-48t+17: s/ (t) = 12t-48. Найдем значение производной в точке t=9: s/ (9)=12*9-48, v(t)= s/ (9)=60. Ответ: 60 м/с.

Решение тригонометрических уравнений:

Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида

, , , .

Рассмотрим, при каких значениях тригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения таких уравнений.

Уравнение .

Так как множество значений функции - отрезок [-1;1], то данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда

.

Далее, из-за периодичности функции , каждому значению соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами:

или обобщенной формулой

.

Пример1. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ: .

Уравнение .

Данное уравнение имеет тогда и только тогда, когда .

Множество решений записывается в виде

.

Заметим, что .

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

Пример2. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ: .

Уравнение .

Данное уравнение разрешимо при любом . Все решения задаются формулой

.

Заметим, что .

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

Пример3. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ: .

Уравнение .

Данное уравнение разрешимо при любом . Все решения задаются формулой

.

Пример4. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение является квадратным относительно . Поэтому сделаем замену . В результате получим уравнение . Его корни: , то есть получаем уравнение или . Первое уравнение дает . Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Так как , то уравнение можно представить в виде ; . Сделаем замену . Получим квадратное уравнение , решая которое, имеем: ,то есть . Таким образом, получим два простейших уравнения или . Решая их, имеем или .

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение является однородным относительно и . поэтому, разделив его на , получим . Введем новую переменную и решим квадратное уравнение .

Его корни . получили два простейших тригонометрических уравнения . Решая их, найдем: или .

Ответ: .

Пример 8. Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение, сводящееся к однородному. Имеем

то есть получили однородное уравнение. Разделив обе части уравнения на , получим . Решая это уравнение, квадратное относительно , найдем, что либо . Таким образом, или .

Ответ: .

Для вычисления значений тригонометрических функций можно использовать следующую таблицу:

7.Вычисление неопределенных интегралов:

1. Таблица неопределённых интегралов.

  .   .
  .   .
  ().   .
  .   .
  ; .   .
  .  
  .   .
  .   .
  .   .
  .   ; .

В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a >0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  




Подборка статей по вашей теме: