Схема исследование функции для построения её графика

1) найти область определения функции (и по возможности указать область значений функции); найти вертикальные асимптоты;

2) исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;

3) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

4) с помощью первой производной исследовать функцию на возрастание, убывание, найти точки экстремума;

5) с помощью второй производной исследовать функцию на выпуклость, вогнутость, найти точки перегиба;

6) найти горизонтальные, наклонные асимптоты;

7) по необходимости найти дополнительные точки графика функции;

8) Построить график функции.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её графики:

у =- х ³-9 х ²-24 х -21.

1) Область определения D (у)= R, то есть функция непрерывна на всей числовой прямой, точек разрыва нет и, следовательно, нет вертикальных асимптот.

2) у (- х)=-(- х)³-9(- х)²-24(- х)-21= х ³-9 х ²+24 х -21, так как у (- х)≠ у (х) и у (- х)≠- у (х), то функция не является ни чётной, ни нечётной, а её график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат (0; 0).

3) у (х)Ç ОY в точке (0; -21), так как при х =0 Þ у =-21.

4) у ¢(х)=(- х ³-9 х ²-24 х -21)¢=-3 х ²-18 х -24

у ¢(х)=0 Þ -3 х ²-18 х -24=0 Þ х ²+6 х +8=0 Þ D = b ²-4 ac =6²-4∙1∙8=4

;

.

функция убывает на (-∞; -4] и на [-2; +∞);

функция возрастает на [-4; -2]

x =-2 – точка max у =-1 – max, получили (-2; -1);

х =-4 – точка min y =-5 – min, получили (-4; -5).

5) y ²(х)=-6 х -18

y ²(х)=0 Þ -6 х -18=0 Þ х =-3

функция вогнута на (-∞; -3];

функция выпукла на [-3; +∞);

х =-3 – точка перегиба, получили (-3; -3).

6) y = kx + b – уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты, где

так как k =-∞, то функция не имеет ни наклонных, ни горизонтальных асимптот, то есть, никаких асимптот нет.

1) Область определения D (у)=(-∞; 1)È(1; ∞), то есть функция непрерывна на своей области определения, х =1 - точка разрыва, исследуем поведение функции вокруг этой точки.

,

следовательно, х =1 - вертикальная асимптота.

2) Так как область определения D (у) не симметричное относительно нуля множество, то функция не является ни чётной, ни нечётной, а её график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат (0; 0).

3) у (х)Ç ОХ в точке (0; 0),

так как при у =0 Þ

4) у (х) Ç ОY в точке (0; 0),

так как при x=0 Þ

5) Вычислим у ¢(х)

функция убывает на (-∞; -2], [0; 1) и на [-2; +∞);

функция возрастает на [-2; 0];

x =0 – точка max у =0 – max, получили (0; 0);

х =-2 – точка min y =-⁴/₂₇ – min, получили (-2; -⁴/₂₇).

6) Вычислим у ²(х)

функция выпукла на (-∞; -2-√3]; [-2+√3; +∞);

функция вогнута на [-2-√3; -2+√3]; (1; +∞);

х =-2±√3 – точки перегиба; получили

7) y=kx+b – уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты, где

итак, у=0 – уравнение горизонтальной асимптоты.

1) Находим область определения:

, следовательно, область определения D (у)=(-∞; 0)È(3; ∞), то есть х =0 и х =3 - граничные точки D (у), исследуем поведение функции на границе D (у).

итак, х =0 и х =3 – вертикальные асимптоты.

2) Так как D (y) не симметрична относительно (0; 0), то эта функция не может быть ни чётной, ни нечётной, а её график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат (0; 0).

3) у(х)ÇОХ в точке (0; ), так как

у(х) ОY, так как х=0 D(y).

4) Вычислим у¢(х)

функция убывает на (-∞; 0); (3; +∞),

точек экстремума нет.

5) Вычислим у²(х)

функция выпукла на (-∞; 0),

функция вогнута на (3; +∞);

точек перегиба нет;

6) y=kx+b – уравнение наклонной (горизонтальной) асимптоты, где

итак, у =-1 – уравнение горизонтальной асимптоты.

Тест 2. Производная.

Вопрос 1Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 2Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 3Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 4Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 5Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 6Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 7Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 8Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 9Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 10Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 11Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 12Вычислить предел
а.) ¥	б.) 1,5	в.) 2	г.)
Вопрос 13Вычислить предел
а.) 2	б.) ¥	в.) -2	г.)
Вопрос 14Вычислить предел
а.) 1	б.) ¥	в.) -0,5	г.)
Вопрос 15Вычислить предел
а.) 2,5	б.) 0,4	в.) 1	г.)
Вопрос 16Вычислить предел
а.) -0,5	б.) 2	в.) 0,5	г.)

Тест 2. Производная.

Вопрос 17Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 18Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 19Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 20Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 21Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 22Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 23Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 24Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 25Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 26Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 27Вычислить производную функции
а.)	б.)	в.)	г.)
Вопрос 28Вычислить предел
а.) ¥	б.) 1,5	в.) 2	г.)
Вопрос 29Вычислить предел
а.) 2	б.) ¥	в.) -2	г.)
Вопрос 30Вычислить предел
а.) 1	б.) ¥	в.) -0,5	г.)
Вопрос 31Вычислить предел
а.) 2,5	б.) 0,4	в.) 1	г.)
Вопрос 32Вычислить предел
а.) -0,5	б.) 2	в.) 0,5	г.)