Системы линейных алгебраических уравнений

Лабораторное занятие № 4

Тема: Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

(2 час.)

Учебно-познавательные цели занятия:

Ознакомиться с методикой решения систем линейных уравнений, используя метод Гаусса.

Воспитательная цель: Продолжать повышать алгоритмическую культуру студентов в процессе решения линейных систем методом Гаусса

Развивающаяцель – развитие творческих способностей студентов.

На лабораторном занятии формируются понятия:

- решения системы линейных уравнений:

- совместной, несовместной, определенной и неопределенной систем;

- обратной матрицы;

- ранга матрицы;

- элементарных преобразований матрицы.

На занятии формируются знания:

- метода Гаусса;

умения:

- решать системы линейных уравнений методом Гаусса;

- находить ранги матриц методом Гаусса;

- находить обратную матрицу методом Гаусса.

навыки:

- аргументированного письменного изложения собственной точки зрения;

- критического восприятия информации

компетенции:

- ОК-1 – владение культурой мышления, способностью к восприятию, обобщению и анализу информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;

- ОК-2 – умением логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь;

- ОК-11 – способностью представить современную картину мира на основе естественнонаучных, математических знаний, ориентироваться в ценностях бытия, жизни, культуры;

- ПК-1 - способностью использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования;

- ПК-25 - способностью к обобщению и статистической обработке

Материально-техническое оборудование:

мультимедийный проектор, ноутбук, презентация «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса».

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ.

2.Проверка знаний студентов — их теоретической готовности к выполнению заданий по каждой из следующих тем:

1. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса;

2. Решение системы четырех линейных уравнений методом Гаусса;

Отыскание ранга матрицы методом Гаусса

Отыскание обратной матрицы методом Гаусса

3. Общее описание задания.

4. Выполнение заданий.

5. Оформление отчета о лабораторной работе.

6. Анализ

ГЛОССАРИЙ

№ п/п	Новые понятия	Содержание
	Решение системы линейных уравнений	Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор n чисел, при подстановке которых вместо переменных в систему, каждое уравнение обращается в верное равенство.
	Элементарные преобразования	К элементарным преобразованиям относят: перестановку 2-х уравнений; умножение уравнения на число, отличное от нуля; прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на какое-либо число; вычеркивание уравнения вида .
	Теорема Кронекера-Капелли	Система линейных уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы.

Метод Гаусса.

1 шаг: с помощью элементарных преобразований систему (1) приводят к равносильной системе ступенчатого вида, т.е. в каждом последующем уравнении исключают по порядку переменные (x ₁ исключают из всех уравнений, начиная со 2-го, x ₂ – из всех уравнений, начиная с 3-го и т.д.). Этот шаг называется прямым ходом метода Гаусса.

2 шаг: находят все переменные последовательно, начиная с последних по номеру и поднимаясь вверх по системе, – обратный ход метода Гаусса.

К элементарным преобразованиям относят: перестановку 2-х уравнений; умножение уравнения на число, отличное от нуля; прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на какое-либо число; вычеркивание уравнения вида .

На практике элементарные преобразования можно выполнять над строками расширенной матрицы системы, а именно: переставлять местами любые две строки; умножать строку на число, отличное от нуля; прибавлять к одной строке другую строку, умноженную на какое-либо число; вычеркивать строку, состоящую сплошь из нулей.

Замечание. Если в результате преобразований получили систему, в которой число уравнений равно числу переменных, то она имеет единственное решение. Если переменных больше, чем уравнений, то система имеет бесконечное множество решений. И, наконец, если получено противоречивое уравнение вида , то система не имеет решений.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ в компьютерном классе.

2. На лабораторном занятии используется работа в парах (или малых группах).

Студентам необходимо:

- ознакомиться с основными теоретическими сведениями по каждой

из рассматриваемых тем;

- ответить на контрольные вопросы по по каждой

из рассматриваемых тем;

- изучить решение общих исходных практических заданий;

- выполнить представленные задания;

- оформить отчет о лабораторной работе;

- защитить лабораторную работу

Необходимый для повторения теоретический материал по теме:

"Решение систем линейных уравнений методом Гаусса"

Системы линейных алгебраических уравнений

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений следующий:

(1),

где а _ij, i=1,...m; j=1,…n—неизвестные величины, называемые коэффициентами системы уравнений. Первый индекс означает номер уравнения, второй—номер неизвестного, при котором стоит коэффициент; b_i, i=1,…m—известные величины, называемые свободными членами, или правыми частями уравнений; x_j, j=1,…n—неизвестные переменные величины (или просто неизвестные).

Система (1)— система линейных уравнений, т.к. все неизвестные входят во все уравнения только в первой степени.

Матрица А, составленная из коэффициентов системы, называется матрицей системы.

Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов А│В, называется расширенной матрицей системы:

А= , А│В=

Систему (2) можно записать в матричном виде АХ=В,

где Х= ; В= (2).

Набор чисел ₁, ₂,…, _n — решение системы, если при подстановке x₁= ₁; x₂= ₂;…, x_n= _n все уравнения системы превращаются в верные тождества.

Решить систему значит найти все её решения или доказать, что не существует ни одного её решения. Если решений бесконечное множество, то указать способ нахождения каждого из них.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определённой, а если более одного решения, то неопределенной.

Две системы алгебраических линейных уравнений называют эквивалентными или равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.