Сколько всего прямоугольников?

На клетчатой бумаге обведён прямоугольник размером 3*4 клетки. Сколько на этой картинке квадратов? А сколько прямоугольников? Те же вопросы для прямоугольника размерами n*m.

32. Зам о к

На рисунке изображён кодовый замок. Компания-производитель утверждает, что он очень надёжен, поскольку существует "несколько тысяч комбинаций". Правда ли это?

Комбинацией является последовательность нажатий. При этом: одновременно можно нажать любое количество кнопок от 0 до 5, кнопки можно нажимать не более одного раза (можно ни разу). Примеры:

{1, 2, 3}, {4, 5} - сначала нажали вместе 1, 2, 3, потом вместе 4 и 5;

{4, 5}, {1, 2, 3} - это другая комбинация, потому что порядок поменялся;

{1}, {3},{4, 5}

{1, 2, 3, 4, 5} (все кнопки сразу)

{1}, {3}, {2}, {5}, {4} (все кнопки по одной)

{} (ничего не нажали; дверь не заперта).

Число турниров

В турнире «на кубок» участвуют n команд, и проигравший выбывает, а после n – 1 игры остаётся победитель. Расписание турнира можно записать в виде символа вроде

((a, (b, c)), d)

- b играет с c, победитель с a, победитель с d.

Сколько разных расписаний, если команд 10?

Число циклов

Рассмотрим перестановку шести чисел:

(эта запись означает, что каждое число из верхней строчки переходит в стоящее под ним число нижней: 1 переходит в 2, 2 – в 1, 3 – в 3, и так далее). Будем производить перестановку многократно и проследим за судьбой каждого числа:

1-> 2 -> 1 -> 2 -> 1 -> 2 -> … Получился цикл длины 2.

3 -> 3-> 3 -> … Получился неподвижный элемент или цикл длины 1.

4-> 6 -> 5 -> 4 -> 6-> 5 -> … Получился цикл длины 3.

Задача: изучить все перестановки данных шести чисел и подсчитать общее количество циклов длины 1, 2, 3, …, 6 в этих перестановках. Обобщить на перестановку n чисел.