Начала математического анализа, топология и др

Задача о блинах

Два блина произвольной формы лежат один на другом. Доказать, что можно одним разрезом ножа разделить оба блина на две части равные по площади.

Удивительные линии

По «определению» Евклида, линия есть длина без ширины. Это определение не является строгим, тем не менее, до 19 века математики довольствовались «очевидностью» этого объекта. Первым попытался дать строгое определение линии К. Жордан (линия – след непрерывно движущейся точки). Оказалось, однако, что под это определение подходит кривая Пеано – след движущейся точки, заметающий квадрат! Предлагается разобраться, чем кончилось дело и познакомиться с удивительными, непривычными линиями (снежинка Коха, ковер Серпинского и т.д.).

Теорема Жордана

Предыдущая задача показывает, что даже такой простой объект как линия, при попытке формализации, приносит массу сюрпризов. Один из таких сюрпризов --- история доказательства следующего «очевидного» факта: любая замкнутая линия делит плоскость на две части.

Задача о раскраске карты

теорема о четырёх красках утверждает, что всякую расположенную на сфере карту можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета. При этом области могут быть как односвязными, так и многосвязными (в них могут присутствовать "дырки"), а под общим участком границы понимается часть линии, то есть стыки нескольких областей в одной точке общей границей для них не считаются. Эта теорема была сформулирована Фрэнсисом Гутри (англ.) в 1852 году, однако доказать ее долгое время не удавалось.

Аналогичная задача о пяти красках, тем не менее, имеет несложное решение.

Теорема о неподвижной точке

Теорема о неподвижной точке имеет совсем уж абстрактную формулировку, но приводит к интересным прикладным следствиям (см. книжку Курранта и Робинсона). Доказательство доступно школьникам старших классов.

Теорема Герона. Экстремальное свойство световых лучей

Дана прямая L и две точки P, Q по одну и ту же ее сторону. Как выбрать точку R на прямой L так, чтобы сумма отрезков PR+RQ давала кратчайший путь от P к Q с заходом на L?

Проблема Штейнера и ее обобщение

Соединить три деревни А, В, С системой дорог таким образом, чтобы их общая протяженность была минимальной.

Простейшая динамика

Предлагается рассмотреть и исследовать простейше математические модели процессов различной природы (распространение эпидемии, сосуществование двух видов, война).